4.6 使用第一次和第二次衍生物试验

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  使用第一次和第二次衍生试验

  播放段落

  When defined at a point, the first derivative and the second derivative each provide one of three results: + (value > 0), - (value < 0) or 0. What are all of the result possibilities for $\begin{align*}f^\prime\end{align*}$  and $\begin{align*}f^{\prime\prime} \end{align*}$ , and which give definitive information on the extrema of $\begin{align*}f\end{align*}$ ?
  ::当在某个点上定义时,第一个衍生物和第二个衍生物各提供三种结果之一:+(价值 > 0)、-(价值 < 0)或0。 F`和f ' 的全部结果可能性是什么?

  播放段落

  Applying the Derivative Tests
  ::应用衍生测试

  播放段落

  Now we will apply all that we have learned from the First and Second Derivative Tests to sketch graphs of functions. The following table provides a summary of the tests and can be a useful guide in sketching graphs.
  ::现在我们将把我们从第一次和第二次衍生试验中学到的所有东西应用到功能的草图图中。下表提供了这些试验的摘要,可以作为草图图的有用指南。

  播放段落 Signs of 1 st and 2 nd ::1号和2号的标志	播放段落 Conclusion ::结论 结论 结论 结论 结论	播放段落 Shape of the graphs ::图表形状
  播放段落 $\begin{align*}f^\prime(x)>0 \ +\end{align*}$ ::f_(xx) >0+ 播放段落 $\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)>0 \ +\end{align*}$ ::f*(x) >0+	播放段落 $\begin{align*}f\end{align*}$ is increasing ::f 正在增加 播放段落 $\begin{align*}f\end{align*}$ is concave upward ::f 是向上连接的 f 。
  播放段落 $\begin{align*}f^\prime(x)>0 \ +\end{align*}$ ::f_(xx) >0+ 播放段落 $\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)<0 \ -\end{align*}$ ::*(x) <0 -	播放段落 $\begin{align*}f\end{align*}$  is increasing ::f 正在增加 播放段落 $\begin{align*}f\end{align*}$  is concave downward ::f 是向下连接的 f 。
  播放段落 $\begin{align*}f^\prime(x)<0 \ -\end{align*}$ ::======================================================================================== 播放段落 $\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)>0 \ +\end{align*}$ ::f*(x) >0+	播放段落 $\begin{align*}f\end{align*}$  is decreasing ::f 正在下降 播放段落 $\begin{align*}f\end{align*}$  is concave upward ::f 是向上连接的 f 。
  播放段落 $\begin{align*}f^\prime(x)<0 \ -\end{align*}$ ::======================================================================================== 播放段落 $\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)<0 \ -\end{align*}$ ::*(x) <0 -	播放段落 $\begin{align*}f\end{align*}$  is decreasing ::f 正在下降 播放段落 $\begin{align*}f\end{align*}$  is concave downward ::f 是向下连接的 f 。

  播放段落

  Take a look at an example where we can use both the First and Second Derivative Tests to find out information that will enable us to sketch the graph.
  ::举个例子,我们可以使用第一和第二次衍生试验 来找出信息 来绘制图表。

  播放段落

  Let’s examine the function $\begin{align*}f(x)=x^5-5x+2.\end{align*}$
  ::让我们检查 F( x) =x5 - 5x+2 的函数 。

  播放段落
  1. Find the critical values for which $\begin{align*}f^\prime(c)=0.\end{align*}$
     ::查找 f_(c) =0 的关键值。

  播放段落

  $\begin{align*}f^\prime(x)=5x^4-5=0\end{align*}$ , which means $\begin{align*}x^4-1=0\end{align*}$  at $\begin{align*}x=\pm 1.\end{align*}$
  ::f_(x)=5x4- 5=0, 表示 x4- 1=0 at x% 1 。

  播放段落
  2. Apply the First and Second Derivative Tests to determine extrema and points of inflection.
     ::应用第一次和第二次衍生试验来确定外形和反射点。

  播放段落

  We note the signs of  $\begin{align*}f^{\prime}\end{align*}$ and  $\begin{align*}f^{\prime\prime}\end{align*}$ in the intervals partitioned by $\begin{align*}x=\pm 1,0.\end{align*}$
  ::我们注意到在x++1,0的间隔间隔间隔内有F+++和f++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

  播放段落 Key intervals ::键间距	$\begin{align*}f^\prime(x)\end{align*}$	$\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)\end{align*}$	播放段落 Shape of graph ::图形形状形状
  $\begin{align*}x<-1\end{align*}$	$\begin{align*}+\end{align*}$	$\begin{align*}-\end{align*}$	播放段落 Increasing, concave down ::不断增长, 凝固下来
  $\begin{align*}-1 < x < 0\end{align*}$	$\begin{align*}-\end{align*}$	$\begin{align*}-\end{align*}$	播放段落 Decreasing, concave down ::衰落,凝固下来
  $\begin{align*}0 < x < 1\end{align*}$	$\begin{align*}-\end{align*}$	$\begin{align*}+\end{align*}$	播放段落 Decreasing, concave up ::腐烂,凝固起来
  $\begin{align*}x > 1\end{align*}$	$\begin{align*}+\end{align*}$	$\begin{align*}+\end{align*}$	播放段落 Increasing, concave up ::不断增长,凝固起来

  播放段落

  At the critical points:
  ::在关键时刻:

  播放段落
  1. $\begin{align*}f^{\prime\prime}(-1)=-20 < 0\end{align*}$ . By the we have a relative maximum at $\begin{align*}x=-1\end{align*}$ , or the point (-1, 6).
     ::f*(- 1) % 20 < 0. 。 以 x 1 或点 (-1, 6) 的相对最大值为准 。
  播放段落
  2. $\begin{align*}f^{\prime\prime}(0)=0\end{align*}$ . By the Second Derivative Test we must have a point of inflection due to the transition from concave down to concave up between the key intervals.
     ::f*(0)=0。在第二次衍生试验中,我们必须有一个切入点,因为从连接层向下过渡到在键盘间隔之间向上过渡。
  播放段落
  3. $\begin{align*}f^{\prime\prime}(1)=20 > 0\end{align*}$ . By the Second Derivative Test we have a relative minimum at  $\begin{align*}x=1\end{align*}$ , or the point (1, -2).
     ::f(1)=20>0. 根据第二次衍生试验,我们有一个相对最低值 x=1, 或点(1, 2) 。

  播放段落

  Now we can sketch the graph.
  ::现在我们可以画出图表了

  

  播放段落

  Now, look at a simple rational function.
  ::现在,看看一个简单的理性功能。

  播放段落

  Consider the function $\begin{align*}f(x)=\frac{x+2}{x-3}\end{align*}$ .
  ::考虑函数 f( x) =x+2x- 3 。

  播放段落
  1. Find the critical values for which $\begin{align*}f^\prime(c)=0\end{align*}$ .
     ::查找 f_(c) =0 的关键值。

  播放段落

  $\begin{align*}f^\prime(x)=\frac{1}{x-3}+(x+2) \frac{-1}{(x-3)^2}=\frac{-5}{(x-3)^2}\end{align*}$  which means there are no values $\begin{align*}c\end{align*}$  that make $\begin{align*}f^\prime(c)=0\end{align*}$ .
  ::f*(x) = 1x-3+(x+2) - 1(x-3)2 =5(x-3)2 表示没有值 c 使 f*(c) =0 。

  播放段落

  Since $\begin{align*}f^\prime(x)\end{align*}$  is not defined at $\begin{align*}x=3\end{align*}$ , this is the one critical point .
  ::由于未在 x=3 上定义 f}(x) , 这是关键点 。

  播放段落
  2. We note the signs of  $\begin{align*}f^\prime\end{align*}$ and  $\begin{align*}f^{\prime\prime}\end{align*}$ in the intervals partitioned by $\begin{align*}x=3\end{align*}$ .
     ::我们注意到在x=3的间隔间隔间隔内有 f 和 f 的标记。

  播放段落 Key intervals ::键间距	$\begin{align*}f^\prime(x)\end{align*}$	$\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)\end{align*}$	播放段落 Shape of graph ::图形形状形状
  $\begin{align*}x < 3\end{align*}$	$\begin{align*}-\end{align*}$	$\begin{align*}-\end{align*}$	播放段落 Decreasing, concave down ::衰落,凝固下来
  $\begin{align*}x > 3\end{align*}$	$\begin{align*}-\end{align*}$	$\begin{align*}+\end{align*}$	播放段落 Decreasing, concave up ::腐烂,凝固起来

  播放段落

  At the critical point, there is a vertical asymptote and the function and derivatives are undefined; there are no minima or maxima.
  ::关键点是,存在垂直零星现象,函数和衍生物没有定义;没有迷你或格言。

  播放段落

  Now we can sketch the graph.
  ::现在我们可以画出图表了

  播放段落

  Examples
  
  ::实例

  播放段落

  Example 1
  ::例1

  播放段落

  Earlier, you were asked to chart all of the sign/zero possibilities for $\begin{align*}f^\prime\end{align*}$  and $\begin{align*}f^{\prime\prime}\end{align*}$ , and identify which give definitive information on the extrema of $\begin{align*}f\end{align*}$ .
  ::早些时候,有人要求你绘制所有F-和F-的标志/零可能性图,并指明哪些标志/零可能性能提供f-秒的准确信息。

  播放段落

  There are nine possibilities as follows:
  ::有以下九种可能性:

  $\begin{align*}f^\prime \end{align*}$	$\begin{align*}f^{\prime\prime}\end{align*}$	播放段落 Definitive Extrema Info? ::确定性快感信息吗?
  $\begin{align*}+\end{align*}$	$\begin{align*}+\end{align*}$	播放段落 No ::否 无
  $\begin{align*}+\end{align*}$	$\begin{align*}-\end{align*}$	播放段落 No ::否 无
  $\begin{align*}+\end{align*}$	0	播放段落 No ::否 无
  $\begin{align*}-\end{align*}$	$\begin{align*}+\end{align*}$	播放段落 No ::否 无
  $\begin{align*}-\end{align*}$	$\begin{align*}-\end{align*}$	播放段落 No ::否 无
  $\begin{align*}-\end{align*}$	0	播放段落 No ::否 无
  0	$\begin{align*}+\end{align*}$	播放段落 Yes ::是 是
  0	$\begin{align*}-\end{align*}$	播放段落 Yes ::是 是
  0	0	播放段落 No ::否 无

  播放段落

  Only when there is a critical point with $\begin{align*}f^\prime=0\end{align*}$  can we use the information on $\begin{align*}f^{\prime\prime}\end{align*}$  to tell whether we have a minimum or a maximum of $\begin{align*}f\end{align*}$ .
  ::只有在f*0有关键点时,我们才能使用f* 上的信息来判断我们是否拥有最低或最高f。

  播放段落

  Example 2
  ::例2

  播放段落

  For the function $\begin{align*}f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2+1}\end{align*}$ , find all critical values, the corresponding  $\begin{align*}y\end{align*}$ values for each critical value, and classify each point as a relative maximum or a relative minimum
  ::函数 f( x) =x2 - 4x+4x4x2+1, 查找所有关键值, 每个关键值的相应 Y 值, 并将每个点分类为相对最大值或相对最小值

  播放段落

  The derivative is: $\begin{align*}f^\prime(x)=\frac{2(2x^2-3x-2)}{(x^2+1)^2}\end{align*}$
  ::衍生物为: f(x)=2( 2x2- 3x-2)( x2+1)2

  播放段落

  Which gives critical values:  $\begin{align*}x=- \frac{1}{2}\end{align*}$ and $\begin{align*}x=2\end{align*}$
  ::它给出了关键值: x* 12 和 x=2

  播放段落

  This means that: $\begin{align*}f\left ( - \frac{1}{2}\right )=5\end{align*}$  and $\begin{align*}f(2)=0\end{align*}$
  ::这意味着:f(- 12)=5和f(2)=0

  播放段落

  The second derivative is: $\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)=- \frac{2(4x^3+9x^2+4x+5)}{(x^2+1)^3}\end{align*}$
  ::第二个衍生物是:f(x)2(4x3+9x2+4x5)(x2+1)3

  播放段落

  Evaluation at the critical points determines that  $\begin{align*}f^{\prime\prime}\left(-\frac{1}{2}\right) < 0\end{align*}$ , which means concave down (a maximum), and  $\begin{align*}f^{\prime\prime}(2) > 0\end{align*}$  means concave up (a minimum).
  ::关键点的评价确定 f(- 12) < 0, 意思是向下( 最大) , f(2) > 0 表示向上( 最低) 。

  播放段落

  The function graph is plotted below:
  ::函数图绘制如下 :

  

  

  播放段落

  Example 3
  ::例3

  播放段落

  For the function $\begin{align*}f(x)=2x^4-3x^2+2\end{align*}$ , find all critical values, classify each point as a relative maximum or a relative minimum, and identify any inflection points
  ::函数 f( x) = 2x4 - 3x2+2 的函数 f( x) = 2x4 - 3x2+2, 查找所有关键值, 将每个点分类为相对最大值或相对最小值, 并识别任何折点

  播放段落

  The derivative is: $\begin{align*}f^\prime(x)=8x^3-6x\end{align*}$
  ::衍生物为: f(x)=8x3-6x

  播放段落

  Which gives critical values:  $\begin{align*}x=0\end{align*}$ and $\begin{align*}x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
  ::这给出了关键值: x=0 和 x @ @% 32

  播放段落

  The second derivative is: $\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)=24x^2-6\end{align*}$
  ::第二个衍生物是:f(x)=24x2-6

  播放段落

  Evaluation at the critical points determines that  $\begin{align*}f^{\prime\prime}(0) < 0\end{align*}$ , which means concave down (a maximum), and  $\begin{align*}f^{\prime\prime}\left(\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right) > 0\end{align*}$  means concave up (two minima).
  ::关键点的评价确定,f(0) < 0,这意味着收缩(最大),f()(32)>0意味着收缩(两个小型)。

  播放段落

  The second derivative is 0 when $\begin{align*}24x^2-6=6(2x-1)(2x+1)=0\end{align*}$ .
  ::第二个衍生物在24x2-6=6(2x-1)(2x+1)=0时为0。

  播放段落

  $\begin{align*}x=0\end{align*}$  and  $\begin{align*}x=\pm \frac{1}{2}\end{align*}$ are inflection points.
  ::x=0 和 x* 12 是穿孔点 。

  播放段落

  Review
  ::回顾

  播放段落

  For the #1-8, find the  critical points, determine if each is a local minimum or maximum, and determine any points of inflection.
  ::对于 # 1-8, 找到关键点, 确定每个点是本地最低点还是最大点, 并确定任何偏移点 。

  播放段落
  1. $\begin{align*}f(x)=x^3-3x^2+1\end{align*}$
     :xx) =x3 - 3x2+1
  播放段落
  2. $\begin{align*}f(x)=x^4-2x^3-x+2\end{align*}$
     :xx) =x4-2x3-x2
  播放段落
  3. $\begin{align*}f(x)=\sin 2x\end{align*}$ on the interval $\begin{align*}\left [ 0, \frac{\pi}{2} \right ]\end{align*}$ .
     ::f(x) = sin2x 间隔 [0] 。
  播放段落
  4. $\begin{align*}f(x)=\frac{1}{x^2-x+2}\end{align*}$
     :xx) = 1x2 - x+2
  播放段落
  5. $\begin{align*}f(x)=2x^3-3x^2+6x\end{align*}$
     :x)=2x3-3x2+6x
  播放段落
  6. $\begin{align*}f(x)=x^3-12x+5\end{align*}$ in the interval [-5, 3]
     ::f(x) =x3 - 12x+5 间隔 [-5, 3]
  播放段落
  7. $\begin{align*}f(x)=x^5+20x+5\end{align*}$
     ::f(x)=x5+20x+5
  播放段落
  8. $\begin{align*}f(x)=x^2-5x+6\end{align*}$ , (-1, 3]
     ::f(x) =x2-5x+6, (-1, 3)
  播放段落
  9. Find the absolute maximum and absolute minimum of $\begin{align*}f(x)=x^3-3x^2+2\end{align*}$  on the interval [0, 4].
     ::在间隔 [0, 4] 中查找 f(x) =x3-3x2+2 的绝对最大和绝对最小值。

  播放段落

  For #10-15, find the critical points and local minima and maxima.
  ::找到关键点、当地迷你和格朗塔。

  播放段落
  10. $\begin{align*}f(x)=x^2 e^{-x}\end{align*}$
      :xx)=x2e-x)
  播放段落
  11. $\begin{align*}f(x)=\frac{x^2}{x-1}\end{align*}$
      :xx) =x2x-1
  播放段落
  12. $\begin{align*}f(x)=5 e^{-x}+x^3\end{align*}$
      :xx)=5e-x+x3
  播放段落
  13. $\begin{align*}f(x)=e^{-2x}+e^x\end{align*}$
      :xx) =e-2x+ex
  播放段落
  14. $\begin{align*}f(x)=3^x e^{-x}\end{align*}$
      :xx)=3xe-x)
  播放段落
  15. $\begin{align*}f(x)=x \tan x\end{align*}$ on the interval $\begin{align*}[-\pi,\pi]\end{align*}$ .
      ::f(x) =xtanx 间隔 [,] 。

  播放段落

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  ::回顾(答复)

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