4.5 使用日志解决指数等同

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  使用日志解决指数等同

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  Introduction
  ::导言

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  A small town was established in 1950, and the population is given by 

  $$\begin{array}{r}P(t)=2,000(1.05{)}^t,\end{array}$$

  where  $\begin{array}{r}t\end{array}$  is the number of years since 1950. The mayor would like to know when the population reached 20,000. In other words, a solution to the following equation is needed:
  ::1950年建立了一个小城镇,人口由P(t)=2,000(1.05)t给予,那里的人口是1950年以来的年数。市长想知道人口何时达到20,000。

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  $$\begin{array}{r}20,000=2,000(1.05{)}^t.\end{array}$$

  The difficulty is that the variable is in the exponent . We will explore algebraic techniques to handle that issue.
  ::20,000=2,000(1.05)t. 困难在于变量在指数中。 我们将探索代数技术来解决这个问题 。

  

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  Exponential Equation Solution Techniques
  ::指数赤道溶解技术

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   To solve an exponential equation:
  ::要解析指数方程式 :

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  1. Isolate the exponential part of the equation. If there are two exponential parts, then rewrite so there is  a single exponent on each side of the equation. 
     ::分离方程式的指数部分。 如果有两个指数部分, 请重写, 这样方程式的每侧都有一个符号 。
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  2. Take the logarithm of each side of the equation.
     ::以方程每侧的对数取出方程的对数 。
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  3. Solve for the variable. 
     ::解决变量。
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  4. Check your solution. 
     ::检查你的解决方案。

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  A common technique for solving equations with variables in exponents is to take the log of both sides of the equation. The p roperties of logs can be used to simplify and solve the equation.  
  ::用指数变量解析方程式的一个常见技术是采用方程式两侧的日志。日志的属性可用于简化和解析方程式。

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     Properties of Using Logarithms
  ::使用对数属性

  $$\begin{array}{rl}\log a^x& =x\cdot \log a\\ \ln e^x& =x\\ \log {10}^x& =x\end{array}$$

   

   

   

   

   

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  Examples
  ::实例

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  Example 1
  ::例1

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  Th e  amount of time it will take to have $9,000 in a savings account, paying  6% annual compound interest,  if $300 is deposited at the end of each year,  satisfies the equation
  ::如果每年年底交存300美元,则储蓄账户需要9 000美元,支付6%的年度复利(如果每年年底交存300美元,则需要多少时间才能满足等式要求)

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  $$\begin{array}{r}9,000=300\cdot \frac{(1.06{)}^t-1}{0.06}.\end{array}$$

  
  ::9,000=300(1.06)t-10.06。

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  This type of investment is called an annuity . Solve the preceding equation for $\begin{array}{r}t\end{array}$ .  
  ::这种类型的投资被称为年金。 t 解决前一个等式 。

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  Solution:
  ::解决方案 :

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  $$\begin{array}{rl}30& =\frac{(1.06{)}^t-1}{0.06}\\ 1.8& =(1.06{)}^t-1\\ 2.8& ={1.06}^t\\ \ln 2.8& =\ln ({1.06}^t)=t\cdot \ln (1.06)\\ t& =\frac{\ln 2.8}{\ln 1.06}\approx 17.67years\end{array}$$

  
  ::30=(1.06)t-1.006.8=(1.06t-12.8=1.06tln_2.8=ln(1.06t)=t ln(1.06t) (1.06t) =ln(2.06t) (2.8n) (1.06t) = (2.8n) (1.06) (1.06) (1.06) (17.67) 年

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  Example 2
  ::例2

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  Solve the following equation for $\begin{array}{r}x\end{array}$ : $\begin{array}{r}{16}^x=25\end{array}$ .
  ::解析 x 的下列方程式: 16x=25 。

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  Solution:
  ::解决方案 :

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  Take  the log of both sides.  U se log properties and a calculator to approximate the solution:
  ::使用两边的日志。 使用日志属性和计算器来接近解决方案 :

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  $$\begin{array}{rl}{16}^x& =25\\ \log {16}^x& =\log 25\\ x\log 16& =\log 25\\ x& =\frac{\log 25}{\log 16}\\ x& \approx 1.16\end{array}$$

  
  ::16x=25log_16x=log_25xlog_16=log_25x=log_25x=log_25g_16x_16x_1.16

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  Example 3
  ::例3

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  Solve the following equation for all possible values of $\begin{array}{r}x\end{array}$ : $\begin{array}{r}({\log }_{2}x{)}^2-{\log }_2\left(x^7\right)=-12\end{array}$ .
  ::为 x 的所有可能值( log2x) 2- log2( x7) *12 ) 解决下列方程式 。

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  Solution:
  ::解决方案 :

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  Step 1: Identify that t his is a quadratic log  problem, because the logarithmic term is squared in the 1st term.   Use a substitution to  examine each layer of the problem.  
  ::步骤 1: 确定这是一个二次对数问题, 因为对数术语在第一个术语中方形。 使用替代来检查问题的每一层 。

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  Step 2: Let $\begin{array}{r}u={\log }_{2}x\end{array}$  .
  ::步骤2:让u=log2x。

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  $$\begin{array}{rl}({\log }_{2}x{)}^2-7{\log }_{2}x+12& =0\\ u^2-7u+12& =0\\ (u-3)(u-4)& =0\\ u& =3,4\end{array}$$

  
  :log2x)2--7log2x+12=0u2-7u+12=0(u-3)(u-4)=0u=3,4)

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  Step 3: Now, substitute back and solve for  $\begin{array}{r}x\end{array}$ in each case.
  ::步骤3:现在,在每种情况下以 x 替换并解决。

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  $$\begin{array}{rl}{\log }_{2}x& =3⟺x=2^3=8\\ {\log }_{2}x& =4⟺x=2^4=16\end{array}$$

  
  ::对数 2x=3x=23=8log2x=4x=24=16

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  Example 4
  ::例4

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  Return to the mayor's question from the Introduction. W hen will the small town reach a population of 20,000, as modeled by the equation  $\begin{array}{r}20,000=2,000(1.05{)}^t\end{array}$ ?
  ::回到市长在导言中提出的问题,小城镇何时才能达到以20,000=2,000(1.05)t等式为模型的20,000人口?

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  $$\begin{array}{rl}20,000& =2,000(1.05{)}^t\\ 10& =(1.05{)}^t\\ \log 10& =\log (1.05{)}^t\\ \log (10)& =t\cdot \log 1.05\\ t& =\frac{\log (10)}{\log (1.05)}\\ t& \approx 47.19\text{ years}\end{array}$$

  
  ::20,000=2,000(1.05)t10=(1.05)tlog@10=(1.05)tlog@(10)=(1.05)tlog@1.05t=(10)g}(10) log}(1.05)t47.19年

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  The population will reach 20,000 in 1997, because 1997 is 47 years after 1950.
  ::1997年人口将达到20,000人,因为1997年是在1950年以后47年。

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  Example 5
  ::例5

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  List all possible values  of $\begin{array}{r}x\end{array}$  for the  following equation : $\begin{array}{r}(x+1{)}^{x-4}-1=0.\end{array}$
  ::列出下列方程式的所有可能的 x 值 (x+1) x- 4- 1=0 。

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  Solution:
  ::解决方案 :

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  $$\begin{array}{rl}(x+1{)}^{x-4}-1& =0\\ (x+1{)}^{x-4}& =1\text{ Add 1.}\\ \log (x+1{)}^{x-4}& =\log 1\text{Take the log of both sides.}\\ (x-4)\cdot \log (x+1)& =0\text{ Use properties of logs.}\\ x-4=0\text{ or }\log (x+1)& =0\\ x-4=0\text{ or }{10}^0& =x+1\\ x-4=0\text{ or }1-1& =x\\ x& =4,0\end{array}$$

  
  :x+1) x-4- 1=0=0(x+1) x-4=1 添加 1.log(x+1) x-4=log*1 使用两侧的日志。(x- 4) log}(x+1) (x+1)=0 使用日志的属性。x- 4=0 或log (x+1)=0=0 或 100=x+1x-4=0 或 1- 1=xx=4,0 使用日志的属性。

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  Recall that you can only take the log of a positive argument. What if  $\begin{array}{r}x+1\end{array}$  is negative 1 but raised to an even power? 
  ::回顾您只能接受正参数的日志。 如果 x+1 是负 1, 但却被提升到一个偶数, 那么会怎样 ?

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  Notice that when $\begin{array}{r}x=-2\end{array}$ , 

  $$\begin{array}{r}(-2+1{)}^{-2-4}-1=(-1{)}^{-6}-1=\frac{1}{(-1{)}^6}-1=0,\end{array}$$

  so it is also a solution. However,  $\begin{array}{r}\log (-2+1)=\log (-1)\end{array}$  is not possible.
  ::当 x2, (-2+1) -2 - 4 - 1=(-1) - 6 - 1=1 (-1) - 1=0, 也是一种解决办法。 但是, log *(-2+1) =log (-1) 是不可能的 。

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  Note that you shouldn't fall into the habit of assuming you can take the log of both sides and get all the solutions . This is only true when the argument is strictly positive.
  ::请注意, 您不应该习惯于假设您可以使用 双方的日志并获得所有解决方案。 只有当争论是绝对肯定时, 才会出现这种情况 。

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  Example 6
  ::例6

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  Light intensity as it travels at specific depths of water in a swimming pool can be described by the relationship between $\begin{array}{r}i\end{array}$  for intensity, and $\begin{array}{r}d\end{array}$  for depth in feet. What is the intensity of light at 10 feet? 
  ::光强度在游泳池中特定水深中行走时的光强度可以用i与d与d与脚的深度之间的关系来描述。 10英尺的光强度是多少?

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  $\begin{array}{r}\log \left(\frac{i}{12}\right)=-0.0145\cdot d\end{array}$
  :i12) 0.0145d

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  Solution:
  ::解决方案 :

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  Given $\begin{array}{r}d=10\end{array}$ , solve for $\begin{array}{r}i\end{array}$  measured in lumens.
  ::根据 d=10, 解答我用月光测量的答案 。

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  $$\begin{array}{rl}\log \left(\frac{i}{12}\right)& =-0.0145\cdot d\\ \log \left(\frac{i}{12}\right)& =-0.0145\cdot 10\\ \log \left(\frac{i}{12}\right)& =-0.145\\ \left(\frac{i}{12}\right)& ={10}^{-0.145}\\ i& =12\cdot {10}^{-0.145}\approx 8.594\text{ lumens}\end{array}$$

  
  :i12)0.0145(i12)0.014510log(i12)0.145(i12)=10-0.145i=1210-0.1458.594

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  Example 7
  ::例7

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  Solve the following equation for all possible values of $\begin{array}{r}x\end{array}$ :
  ::为 x 的所有可能值解决下列方程式:

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  $$\begin{array}{r}\frac{e^x-e^{-x}}{3}=14\end{array}$$

  
  ::- exe- x3=14

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  Solution:
  ::解决方案 :

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  First solve for $\begin{array}{r}{e}^x\end{array}$ :
  ::ex 的第一个解答 :

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  $$\begin{array}{rl}\frac{e^x-e^{-x}}{3}& =14\\ e^x-e^{-x}& =42\\ e^x\cdot \left(e^x-e^{-x}\right)& =\left(42\right)\cdot e^x\\ e^{2x}-1& =42e^x\\ (e^x{)}^2-42e^x-1& =0\end{array}$$

  
  ::-e-x3=14ex-e-x=42ex__(ex-e-x)=(42__ex-e-x)=(42―ex2x-1=42ex(ex)2-42ex-1=0)

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  Let $\begin{array}{r}u=e^x\end{array}$ .
  ::让u=ex。

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  $$\begin{array}{rl}& u^2-42u-1=0\\ & u=\frac{-(-42)\pm \sqrt{(-42{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\frac{42\pm \sqrt{1768}}{2}\approx 42.023796,-0.0237960\end{array}$$

  
  ::u2-42u-1=0u(-42(-42-2)-(-42)-41(-1)-21=421768242.023796,-0.0237960

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  Since the range of the exponential function is greater than 0, $\begin{array}{r}{e}^x>0\end{array}$ , then  $\begin{array}{r}{e}^x\approx -0.0237960\end{array}$  does not exist.  Thus,  $\begin{array}{r}-0.0237960\end{array}$   is extraneous, so there is only  one result.
  ::由于指数函数的范围大于 0, ex>0, 那么 ex 0.0 237960 不存在。 因此, 0.0 237960 是外部的, 所以只有一个结果 。

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  $$\begin{array}{rl}{e}^x& \approx 42.023796\\ x& \approx \ln 42.023796\approx 3.738\end{array}$$

  
  ::-42.023796x 42.0237963.738

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  Summary
  ::摘要

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  • To solve an exponential equation:
    播放段落
    • Isolate the exponential part of the equation. If there are two exponential parts, then rewrite so there is a single exponent on each side of the equation. 
      ::分离方程式的指数部分。 如果有两个指数部分, 请重写, 这样方程式的每侧都有一个符号 。
    播放段落
    • Take the logarithm of each side of the equation.
      ::以方程每侧的对数取出方程的对数 。
    播放段落
    • Solve for the variable. 
      ::解决变量。
    播放段落
    • Check your solution. 
      ::检查你的解决方案。
    
    ::要解析指数方程式 : 分离方程式的指数部分 。 如果有两个指数部分, 请重写, 这样方程式的每侧都有一个符号。 选择方程式每一侧的对数 。 解决变量 。 请检查您的解答 。

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  Review
  ::回顾

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  Solve each equation for $\begin{array}{r}x\end{array}$ . If necessary, round each answer to three decimal places.
  ::x 的每个方程式都解答。如果需要,将每个方程式的回答按小数点后三位数进行。

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  1.  $\begin{array}{r}{4}^x=6\end{array}$
  ::1. 4x=6

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  2.  $\begin{array}{r}{5}^x=2\end{array}$
  ::2. 5x=2

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  3.  $\begin{array}{r}{12}^{4x}=1,020\end{array}$
  ::3. 124x=1,020

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  4.  $\begin{array}{r}{7}^{3x}=2,400\end{array}$
  ::4. 73x=2 400

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  5.  $\begin{array}{r}{2}^{x+1}-5=22\end{array}$
  ::5. 2x+1-5=22

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  6.  $\begin{array}{r}5x+{12}^x=5x+7\end{array}$
  ::6. 5x+12x=5x+7

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  7.  $\begin{array}{r}{2}^{x+1}=2^{2x+3}\end{array}$
  ::7. 2x+1=22x+3

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  8.  $\begin{array}{r}{3}^{x+3}=9^{x+1}\end{array}$
  ::8. 3x+3=9x+1

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  9. $\begin{array}{r}{2}^{x+4}=5^x\end{array}$
  ::9. 2x+4=5x

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  10.  $\begin{array}{r}13\cdot 8^{0.2x}=546\end{array}$
  ::10.80.2x=546

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  11.  $\begin{array}{r}{b}^x=c+a\end{array}$
  ::11. bx=c+a

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  12. $\begin{array}{r}{32}^x=0.94-.12\end{array}$
  ::12. 32x=0.94-12

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  Solve each log equation by using log properties and rewriting as an exponential equation:
  ::使用日志属性并重写成指数方程式来解决每个日志方程式:

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  13.  $\begin{array}{r}{\log }_{3}x+{\log }_{3}5=2\end{array}$
  ::13.3x+log3=2 对数 3x+log3=5=2

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  14.  $\begin{array}{r}2\log x=\log 8+\log 5-\log 10\end{array}$
  ::14. 2log_x=log_8+log_5_log_10

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  15. $\begin{array}{r}{\log }_{9}x=\frac{3}{2}\end{array}$
  ::15. log9x=32

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  Review (Answers)
  ::回顾(答复)

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  Please see the Appendix.
  ::请参看附录。