Course: 6.4 基数变化和座标变化

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基数变化和坐标坐标变化
There are allowed to exist multiple basis to a vector space. For example, we could allow $\begin{align*}\bigg\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\bigg\}\end{align*}$ , the standard basis vectors for $\begin{align*}\mathbb{R}^{2}\end{align*}$ to be the basis for $\begin{align*}\mathbb{R}^{2}\end{align*}$ or we could allow any other linear combination of linearly independent vectors in $\begin{align*}\mathbb{R}^{2}\end{align*}$ to form the basis for $\begin{align*}\mathbb{R}^{2}\end{align*}$ . For example we could change the basis to be $\begin{align*}\bigg\{\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\bigg\}\end{align*}$ .
::允许矢量空间存在多个基础。例如,我们可以允许 {[10],[01]},将 R2 的标准基矢量作为 R2 的基础,或者允许 R2 中线性独立矢量的任何其他线性组合构成 R2 的基础。例如,我们可以将基数改为 {[34],[-12]。

So, given a vector space $\begin{align*}V\end{align*}$ we can switch basis in order to make a simple coordinate system.
::因此,给一个矢量空间V, 我们可以转换基础, 以便建立一个简单的坐标系统。

So, let's say we have a vector space $\begin{align*}V\end{align*}$ and if we have two basis such that $\begin{align*}B_{1} = \{\vec{b_{1}},\vec{b_{2}}\}, B_{2} = \{\vec{b'_{1}}, \vec{b'_{2}}\} \end{align*}$ then we can create a relationship between the two basis.
::所以,让我们假设我们有一个矢量空间V, 如果我们有两个基础, B1,b1,b2,b2,b2,B2,b1,b2,b2,那么我们可以在两个基础之间建立一种关系。

Let's look at an example, say
::让我们举个例子,比如说

$\begin{align*}\vec{x} = 2\vec{b_{1}} - 3\vec{b_{2}} \\ [\vec{x}]_{B_{1}} = \begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix} \\ \end{align*}$
::x2b13b2[x]B1=[2-3]

Now, if we want to write $\begin{align*}\vec{x}\end{align*}$ in terms of $\begin{align*}B_{2}\end{align*}$ then we have to have a relationship between the sets of basis vectors.
::现在,如果我们想用 B2 来写 x 字的话, 我们就必须在基向量之间建立一种关系。

So say
::说吧,说吧,说吧,说吧,说吧,说吧,说吧,说吧,说吧,说吧,

$\begin{align*}\vec{b_{1}} = 2\vec{b'_{1}} - 4\vec{b'_{2}} \\ \vec{b_{2}} = -3\vec{b'_{1}} + 5\vec{b'_{2}}\end{align*}$
::2b14b2223b15b2

If we now, want to find $\begin{align*}[\vec{x}]_{B_{2}}\end{align*}$ we have to see that
::如果我们现在想要找到[x]B2 我们必须看到

$\begin{align*}[\vec{x}]_{B_{2}} = [2\vec{b_{1}} - 3\vec{b_{2}}]_{B_{2}} \\ [\vec{x}]_{B_{2}} = 2[\vec{b_{1}}]_{B_{2}} - 3[\vec{b_{2}}]_{B_{2}} \\ \vec{b_{1}} = 2\vec{b'_{1}} - 4\vec{b'_{2}} \\ \vec{b_{2}} = -3\vec{b'_{1}} + 5\vec{b'_{2}} \\ [\vec{x}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}[\vec{b_{1}}]_{B_{2}}& [\vec{b_{2}}]_{B_{2}}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix} \\ [\vec{b_{1}}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix} \\ [\vec{b_{2}}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix} \\ [\vec{b_{1}}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}2&-3\\-4&5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix} \\ [\vec{x}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}13\\-23\end{bmatrix} \end{align*}$
::[x}]B2=[2b1,%3b2}B2=[2b1,%3b2]B2=[B2]B2=[2 -4][B2]B2=[2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,b1,4,5,2,2,2,2,2,2,B2=[2,2,2,2,2,3,3,3,5,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,5,5,2,2,4,4,4,4,4,2,B2,2,B2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,]B2,[2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,

Let's try a higher dimensional vector space
::让我们尝试一个更高的维向量空间

$\begin{align*}B_{1} = \{\vec{b_{1}},\vec{b_{2}},\vec{b_{3}}\} \\ B_{2} = \{\vec{b'_{1}}, \vec{b'_{2}},\vec{b'_{3}}\} \\ [\vec{x}]_{B_{1}} = \begin{bmatrix}-2\\3\\-1\end{bmatrix} \\ \vec{b_{1}} = 2\vec{b'_{1}} - 5\vec{b'_{2}} + 4\vec{b'_{3}} \\ \vec{b_{2}} = -3\vec{b'_{1}} +2\vec{b'_{2}} -1\vec{b'_{3}} \\ \vec{b_{3}} = 6\vec{b'_{1}} - 9\vec{b'_{2}} - 2\vec{b'_{3}} \\ [\vec{b_{1}}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}2\\-5\\4\end{bmatrix} \\ [\vec{b_{2}}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}-3\\2\\-1\end{bmatrix} \\ [\vec{b_{3}}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}6\\-9\\-2\end{bmatrix} \\ [\vec{x}]_{B_{2}} = [-2\vec{b_{1}} + 3\vec{b_{2}} - 1\vec{b_{3}}]_{B_{2}} \\ [\vec{x}]_{B_{2}} = -2[\vec{b_{1}}]_{B_{2}} + 3[\vec{b_{2}}]_{B_{2}} - [\vec{b_{3}}]_{B_{2}} \\ [\vec{x}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}[\vec{b_{1}}]_{B_{2}} & [\vec{b_{2}}]_{B_{2}} & [\vec{b_{3}}]_{B_{3}}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\\-1\end{bmatrix} \\ [\vec{x}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}2&-3&6\\-5&2&-9\\4&-1&-2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\\-1\end{bmatrix} \\ [\vec{x}]_{B_{2}} = -2\begin{bmatrix}2\\-5\\4\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}-3\\2\\-1\end{bmatrix} -1\begin{bmatrix}6\\-9\\-2\end{bmatrix} \\ [\vec{x}]_{B_{2}} = \begin{bmatrix}-10\\25\\-9\end{bmatrix} \end{align*}$
::B2=[2-B1-1,b3-B2,b2,b2,b2,b2,b2,b2,b2,2,b1,b1,B1 =B2,B2,B2,B2,B2,B2+2,B2+2,B2,B1,B3,B3,B3,B3,B1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,B1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b3,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,b1,2,2,2,B1,2,2,B2,2,[b,2,2,2,2,B,2,2,B,2,B,2,2,2,B,2,2,B,B,2,2,2,B,B,2,2,B,B,2,B,2,B,2,B,B,B,2,B,B,B,2,2,B,2,B,B,B,2,B,B,2,B,B,B,B,B,B,B,2,B,B,B,B,2,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,2,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B,B

As we see from both of these examples, we can change the coordinates of the vector with respect to the basis by multiplying by a matrix. The matrix that does such is known as the change of coordinates matrix. The change of coordinates matrix from a basis $\begin{align*}B_{1}\end{align*}$ to $\begin{align*}B_{2}\end{align*}$ across vector spaces is denoted by
::正如我们从这两个例子中看到的,我们可以通过乘以一个矩阵,改变矢量相对于基础的坐标坐标。这样做的矩阵称为坐标矩阵的变化。

$\begin{align*}P_{B_{2}\leftarrow B_{1}} \\ [\vec{x_{2}}]_{B_{2}} = P_{B_{2}\leftarrow B_{1}}[\vec{x}]_{B_{1}}\end{align*}$
::PB2_B1[x2}B2=PB2_B1[x_B]B1=PB2=PB2_B1[x_B]B1

The inverse of this matrix then would change the basis from $\begin{align*}B_{2}\to B_{1}\end{align*}$ . As to why the matrix notation has the arrow go backwards, I have no idea.
::然后,这一矩阵的反面就会改变B2QB1的基数。至于为什么矩阵符号让箭向后,我不知道。

This matrix is given the formula
::给此矩阵给定公式

$\begin{align*}P_{B_{2}\leftarrow B_{1}} = \begin{bmatrix}[\vec{b_{1}}]_{B_{2}} & \cdots & [\vec{b_{n}}]_{B_{2}}\end{bmatrix}\end{align*}$
::PB2B1=[[b1]B2B2]B2

This is true if we are given sets $\begin{align*}B_{1}\text{ and }B_{2}\text{ with }n\end{align*}$ different basis vectors.
::如果给定 B1 和 B2 组, 给定 n 不同的基础矢量, 则情况确实如此。

Here are some videos to help solidify your understanding.
::以下是一些帮助巩固你理解的视频。

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