7.4 草石工艺工艺

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  Gram Schmidt 进程

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  In this lesson we are going to be learning about a process that is often used to take any basis of  $\begin{array}{r}{\mathbb{R}}^n\end{array}$  and make it orthonormal or orthogonal. This process is referred to as the Gram-Schmidt Process.
  ::在这个教训中,我们将要学习一个经常用来利用Rn的任何基础并使它成为正正态或正向进程的过程。 这个过程被称为Gram-Schmidt 进程。

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  Given a basis  $\begin{array}{r}\{\stackrel{\to }{x_1},\cdots ,\stackrel{\to }{x_k}\}\end{array}$  for a subspace  $\begin{array}{r}S\in {\mathbb{R}}^n\end{array}$ . An orthogonal basis for  $\begin{array}{r}S\end{array}$  which has the same span as those basis vectors  $\begin{array}{r}\{\stackrel{\to }{x_1},\cdots ,\stackrel{\to }{x_k}\}\end{array}$  has the formula:
  ::基于 {x1},{{{{{{{{{{{{},{}xk}} 的子空间 S{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{},xk}}}。 S 的正弦基础与这些基矢量{x1}{{{{{{{},{},{{},xk}具有相同的范围,公式如下:

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  $\begin{array}{r}\stackrel{\to }{v_1}=\stackrel{\to }{x_1}\\ \stackrel{\to }{v_2}=\stackrel{\to }{x_2}-\frac{\stackrel{\to }{x_2}\cdot \stackrel{\to }{v_1}}{\stackrel{\to }{v_1}\cdot \stackrel{\to }{v_1}}\cdot \stackrel{\to }{v_1}\\ \stackrel{\to }{v_3}=\stackrel{\to }{x_3}-\frac{\stackrel{\to }{x_3}\cdot \stackrel{\to }{v_1}}{\stackrel{\to }{v_1}\cdot \stackrel{\to }{v_1}}\cdot \stackrel{\to }{v_1}-\frac{\stackrel{\to }{x_3}\cdot \stackrel{\to }{v_2}}{\stackrel{\to }{v_2}\cdot \stackrel{\to }{v_2}}\cdot \stackrel{\to }{v_2}\\ ⋮\\ \stackrel{\to }{v_k}=\stackrel{\to }{x_k}-\frac{\stackrel{\to }{x_k}\cdot \stackrel{\to }{v_1}}{\stackrel{\to }{v_1}\cdot \stackrel{\to }{v_1}}\cdot \stackrel{\to }{v_1}-\cdots -\frac{\stackrel{\to }{x_k}\cdot \stackrel{\to }{v_{k-1}}}{\stackrel{\to }{v_{k-1}}\cdot \stackrel{\to }{v_{k-1}}}\cdot \stackrel{\to }{v_{k-1}}\end{array}$
  ::\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ -\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

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  If we want to make these vectors orthonormal, then scale them by the reciprocal of their magnitudes making them unit vectors, to get 
  ::如果我们想制造这些矢量的正正正态, 那么用它们的大小对等的大小来缩放它们, 使它们成为单位矢量, 以获得

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  $\begin{array}{r}\{\frac{\stackrel{\to }{v_1}}{||\stackrel{\to }{v_1}||},\cdots ,\frac{\stackrel{\to }{v_k}}{||\stackrel{\to }{v_k}||}\}\end{array}$
  ::~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

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  Exercise: Try to prove this theorem using the techniques and concepts we've learned over the past two lessons.
  ::练习:尝试用我们在过去的两个教训中 学到的技巧和概念 来证明这个理论。

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  Now, try and think of how this process works geometrically. First think about how this works on simple vector spaces such as planes and lines and then try and generalize it.
  ::现在,试着想一想这个过程是如何几何操作的。 首先想想这个过程是如何在简单的矢量空间(如飞机和线条)上操作的, 然后尝试和概括一下它。

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  Let's look now at  an example of this this process being applied to calculate orthogonal and orthonormal subspaces from other subspaces:
  ::让我们看看这个用于从其他子空格中计算正向和正向子空格的子空格的过程 :

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  Take the  subspace of  $\begin{array}{r}{\mathbb{R}}^4\end{array}$   generated by the three vectors
  ::获取由三向量生成的 R4 的子空间

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  $\begin{array}{r}\stackrel{\to }{x_1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 0\end{array}\right]\\ \stackrel{\to }{x_2}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ \stackrel{\to }{x_3}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\end{array}$
  ::x1[1230]x2[1200]x3[1001]

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  Now, to find the orthogonal basis we get
  ::现在,为了找到我们得到的正纵基础

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  $\begin{array}{r}\stackrel{\to }{v_1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 0\end{array}\right]\\ \stackrel{\to }{v_2}=\stackrel{\to }{x_2}-\frac{\stackrel{\to }{x_2}\cdot \stackrel{\to }{v_1}}{\stackrel{\to }{v_1}\cdot \stackrel{\to }{v_1}}\cdot \stackrel{\to }{v_1}\\ \stackrel{\to }{v_2}=(1,2,0,0)-\frac{(1,2,0,0)\cdot (1,2,3,0)}{(1,2,3,0)\cdot (1,2,3,0)}\cdot (1,2,3,0)\\ \stackrel{\to }{v_2}=(1,2,0,0)-\frac{5}{14}\cdot (1,2,3,0)\\ \stackrel{\to }{v_2}=\left[\begin{array}{c}\frac{9}{14}\\ \frac{9}{7}\\ -\frac{15}{14}\\ 0\end{array}\right]\\ \stackrel{\to }{v_3}=\stackrel{\to }{x_3}-\frac{\stackrel{\to }{x_3}\cdot \stackrel{\to }{v_1}}{\stackrel{\to }{v_1}\cdot \stackrel{\to }{v_1}}\cdot \stackrel{\to }{v_1}-\frac{\stackrel{\to }{x_3}\cdot \stackrel{\to }{v_2}}{\stackrel{\to }{v_2}\cdot \stackrel{\to }{v_2}}\cdot \stackrel{\to }{v_2}\\ \stackrel{\to }{v_3}=(1,0,0,1)-\frac{1}{14}\cdot (1,2,3,0)-\frac{1}{5}(\frac{9}{14},\frac{9}{7},\frac{-15}{14},0)\\ \stackrel{\to }{v_3}=\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5}\\ \frac{-2}{5}\\ 0\\ 1\end{array}\right]\\ \text{Hence we have that the orthogonal basis is}\\ S=\text{Span}\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{9}{14}\\ \frac{9}{7}\\ -\frac{15}{14}\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5}\\ \frac{-2}{5}\\ 0\\ 1\end{array}\right]\}\end{array}$
  :1,2、3,0)(1,2、3,0)(1,2、3,2,3,0)(1,2,3,0)(1,2,3,0)(1,2,2,0)(1,2,2,0)(1,2,0)(1,2,0)(0,0)(514,0)(1,2,0,0)(1,2,0)(1,0,0,0,0)(1,0,0,0)(1,0,0,0,0,0,0)(1,0,0,0) (1,2,0,0,0) (1,2,0,0,0,0,5,0,0,0,0,5,0,0,5,4,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,4,0,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,

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  Now, normalizing these vectors to make sure that the basis becomes orthonormal, we get that 
  ::现在,让这些向量正常化,以确保 基础变成异异体,我们明白

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  we can multiply by 14 on the second vector and by 5 on the third vector because thats in the span and is still orthogonal.
  ::我们可以乘以14乘以14乘以第二个矢量, 乘以5乘以第三个矢量, 因为它在横线上, 并且仍然正正对角 。

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  Now it becomes easier to normalize this orthogonal basis to make it orthonormal.
  ::现在更容易使这一正正统基础正常化,使它变得正正统。

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  This becomes: 
  ::这成为:

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  $\begin{array}{r}S=\text{Span}\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}9\\ 18\\ -15\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0\\ 5\end{array}\right]\}\\ S=\text{Span}\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{14}}\\ \frac{2}{\sqrt{14}}\\ \frac{3}{\sqrt{14}}\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{9}{\sqrt{630}}\\ \frac{18}{\sqrt{630}}\\ \frac{-15}{\sqrt{630}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{4}{\sqrt{45}}\\ \frac{-2}{\sqrt{45}}\\ 0\\ \frac{5}{\sqrt{45}}\end{array}\right]\}\\ S=\text{Span}\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{14}}\\ \frac{2}{\sqrt{14}}\\ \frac{3}{\sqrt{14}}\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt{70}}\\ \frac{6}{\sqrt{70}}\\ \frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{14}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3\sqrt{5}}\\ \frac{-2}{3\sqrt{5}}\\ \frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right]\}\end{array}$
  ::S=Span{[1230]、[918-150]、[4-205]、[4-205)]S=Span{[1142143140]、[963018630-15630]、[445-2450545]、[142143140]、[370670-514]、[435-23553]}

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  Here are some extra videos that will help you understand this process better if you do not already:
  ::以下是一些额外的视频, 帮助您更好地理解这个过程,