以 (h, k) 居中

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Your homework assignment is to graph the $\begin{align*}9(y + 2)^2 - 4(x -3)^2 = 36\end{align*}$ . What are the vertices of your graph?
::您的作业任务是绘制 9 (y+2) 2 - 4 (x- 3) 2= 36。 您的图表的顶点是什么 ?

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Hyperbolas Centered at (h,k)
::以 (h,k) 居中

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Just like you have learned previously, a hyperbola does not always have to be placed with its center at the origin. If the center is $\begin{align*}(h, k)\end{align*}$ the entire ellipse will be shifted $\begin{align*}h\end{align*}$ units to the left or right and $\begin{align*}k\end{align*}$ units up or down. The equation becomes $\begin{align*}\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2}=1\end{align*}$ . We will address how the vertices, co-vertices, and foci change in the next problem .
::正如你以前所学到的, 超双波拉并非总要与它的中心放在原点。 如果中心是 (h, k) , 整个椭圆将被移动 h 单位到左边或右边, k 单位向上或向下。 方程式会变成 (x-h) 2a2- (y- k) 2b2=1. 。 我们将解决下个问题中脊椎、 共垂直和角变化的方式 。

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Let's graph $\begin{align*}\frac{(x-2)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9}=1\end{align*}$ . Then, let's find the vertices, foci, and asymptotes.
::让我们绘制图表( x-2) 216 - (y+1) 29=1。 然后, 让我们找到顶点、 福西 和 微粒 。

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First, we know this is a horizontal hyperbola because the $\begin{align*}x\end{align*}$ term is first. Therefore, the center is $\begin{align*}(2, -1)\end{align*}$ and $\begin{align*}a=4\end{align*}$ and $\begin{align*}b=3\end{align*}$ . Use this information to graph the hyperbola.
::首先,我们知道这是一个水平双曲线, 因为 x 术语是第一个。 因此, 中心是 (2, - 1) 和 a= 4 和 b= 3 。 使用此信息来绘制双曲线图 。

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To graph, plot the center and then go out 4 units to the right and left and then up and down 3 units. Draw the box and asymptotes.
::绘制图图,绘制中心图,然后从4个单元向右和向左,然后向上和向下绘制3个单元图。绘制方框和微粒。

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This is also how you can find the vertices. The vertices are $\begin{align*}(2 \pm 4, -1)\end{align*}$ or $\begin{align*}(6, -1)\end{align*}$ and $\begin{align*}(-2, -1)\end{align*}$ .
::也正是如此,您才能找到顶层。顶层是(24,-1)或(6,-1)和(-2,-1)或(-2,-1)。

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To find the foci, we need to find $\begin{align*}c\end{align*}$ using $\begin{align*}c^2=a^2+b^2\end{align*}$ .
::要找到foci, 我们需要使用 c2=a2+b2 找到 c。

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$$\begin{align*}c^2 &= 16+9=25 \\ c &= 5\end{align*}$$
::c2=16+9=25c=5

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Therefore, the foci are $\begin{align*}(2 \pm 5, -1)\end{align*}$ or $\begin{align*}(7, -1)\end{align*}$ and $\begin{align*}(-3, -1)\end{align*}$ .
::因此,核心是(2-5,-1)或(7,-1)和(-3,-1)。

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To find the asymptotes, we have to do a little work to find the $\begin{align*}y\end{align*}$ -intercepts. We know that the slope is $\begin{align*}\pm \frac{b}{a}\end{align*}$ or $\begin{align*}\pm \frac{3}{4}\end{align*}$ and they pass through the center. Let’s write each asymptote in point-slope form using the center and each slope.
::要找到微粒,我们必须做点小工作才能找到 Y 截面。 我们知道斜坡是 ba 或 34 , 并且它们穿过中心。 让我们用中间和每个斜坡来以微粒形式写每个微粒。

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$\begin{align*}y-1=\frac{3}{4}(x+2)\end{align*}$ and $\begin{align*}y-1=-\frac{3}{4}(x+2)\end{align*}$
::y- 1=34(x+2) y- 1\\\\ 34(x+2)

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Simplifying each equation, the asymptotes are $\begin{align*}y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}\end{align*}$ and $\begin{align*}y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\end{align*}$ .
::简化每个方程式时, 空数为 y= 34x-52 和 y= 34x+12 。

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From this problem, we can create formulas for finding the vertices, foci, and asymptotes of a hyperbola with center $\begin{align*}(h, k)\end{align*}$ . Also, when graphing a hyperbola, not centered at the origin, make sure to plot the center.
::从这个问题中,我们可以创建公式来寻找具有中枢(h,k)的超重波拉的顶部、顶部和微粒。此外,在绘制不以原点为中心的超重波拉图时,确保绘制中枢。

Orientation	Equation	Vertices	Foci	Asymptotes
Horizontal	$\begin{align*}\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} =1\end{align*}$	$\begin{align*}(h \pm a, k)\end{align*}$	$\begin{align*}(h \pm c, k)\end{align*}$	$\begin{align*}y-k= \pm \frac{b}{a}(x-h)\end{align*}$
Vertical	$\begin{align*}\frac{(y-k)^2}{a^2} + \frac{(x-h)^2}{b^2} =1\end{align*}$	$\begin{align*}(h, k \pm a)\end{align*}$	$\begin{align*}(h, k \pm c)\end{align*}$	$\begin{align*}y-k= \pm \frac{a}{b}(x-h)\end{align*}$

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Now, let's find the equation of the hyperbola with vertices $\begin{align*}(-3, 2)\end{align*}$ and $\begin{align*}(7, 2)\end{align*}$ and focus $\begin{align*}(-5, 2)\end{align*}$ .
::现在,让我们来看看超波拉的方程式, 包括脊椎(- 3, 2) 和( 7, 2) 和焦点(- 5, 2) 。

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These two vertices create a horizontal transverse axis , making the hyperbola horizontal. If you are unsure, plot the given information on a set of axes. To find the center, use the midpoint formula with the vertices.
::这两个顶点创建了横向横向轴,使双波拉水平。如果您不确定,请在一组轴上绘制给定信息。要找到中心,请使用中点公式和顶点。

$\begin{align*}\left(\frac{-3+7}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right)=(2, 2)\end{align*}$

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The distance from one of the vertices to the center is $\begin{align*}a\end{align*}$ , $\begin{align*}|7 - 2|=5\end{align*}$ . The distance from the center to the given focus is $\begin{align*}c\end{align*}$ , $\begin{align*}|-5 -2|=7\end{align*}$ . Use $\begin{align*}a\end{align*}$ and $\begin{align*}c\end{align*}$ to solve for $\begin{align*}b\end{align*}$ .
::从一个顶端到中心之间的距离是 7 -2 5 。 从中心到给定焦点的距离是 c, 5 - 2 。 使用 a 和 c 解答 b 。

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$$\begin{align*}7^2 &= 5^2+b^2 \\ b^2 &= 24 \rightarrow b=2 \sqrt{6}\end{align*}$$
::72=52+b2b2=24b=26

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Therefore, the equation is $\begin{align*}\frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y-2)^2}{24}=1\end{align*}$ .
::因此,等式是(x-2)225-(y-2)224=1。

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Finally, let's graph $\begin{align*}49(y-3)^2-25(x+4)^2=1225\end{align*}$ and find the foci.
::最后,让我们用图49(y-33)2 - 25(x+4)2=1225 并找到介质。

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First we have to get the equation into standard form, like the equations above. To make the right side 1, we need to divide everything by 1225.
::首先,我们必须把方程式变成标准的形式,像上面的方程式一样。为了右侧一,我们需要把所有东西除以1225。

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$$\begin{align*}\frac{49(y-3)^2}{1225} - \frac{25(x+4)^2}{1225} &= \frac{1225}{1225} \\ \frac{(y-3)^2}{25} - \frac{(x+4)^2}{49} &=1\end{align*}$$
::49-33)-21225-225(x+4)-21225=12251225(y-33)-225-(x+4)249=1

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Now, we know that the hyperbola will be vertical because the $\begin{align*}y\end{align*}$ -term is first.
::现在,我们知道超波拉会是垂直的 因为y-term是第一个。

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$\begin{align*}a=5\end{align*}$ , $\begin{align*}b=7\end{align*}$ and the center is $\begin{align*}(-4, 3)\end{align*}$ .
::a=5,b=7,中心为(-4,3)。

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To find the foci, we first need to find $\begin{align*}c\end{align*}$ by using $\begin{align*}c^2=a^2+b^2\end{align*}$ .
::要找到角,我们首先需要通过使用 c2=a2+b2 来找到 c。

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$$\begin{align*}c^2 &= 49+25=74 \\ c &= \sqrt{74}\end{align*}$$
::c2=49+25=74c74

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The foci are $\begin{align*}\left(-4, 3 \pm \sqrt{74}\right)\end{align*}$ or $\begin{align*}(-4, 11.6)\end{align*}$ and $\begin{align*}(-4, -5.6)\end{align*}$ .
::地方为(-4,374)或(-4,11.6)和(-4,5.6)。

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Examples
::实例

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Example 1
::例1

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Earlier, you were asked to identify  the vertices of the  graph of the hyperbola defined by $\begin{align*}9(y + 2)^2 - 4(x -3)^2 = 36.\end{align*}$
::早些时候,有人要求您确定由 9(y+2)2-2-4(x-3)2=36定义的双倍波拉图的顶点。

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First we need to get the equation in standard form $\begin{align*}\frac{(y-k)^2}{a^2} + \frac{(x-h)^2}{b^2} =1\end{align*}$ , so we divide by 36.
::首先,我们需要以标准格式(y-k) 2a2+(x-h) 2b2=1 获得方程式,所以我们除以36。

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$$\begin{align*}9(y + 2)^2 - 4(x -3)^2 = 36\\ \frac {9(y + 2)^2}{36} - \frac{4(x -3)^2}{36} = \frac{36}{36}\\ \frac {(y + 2)^2}{4} - \frac{(x -3)^2}{9} = 1\end{align*}$$
::9(y+2)2-2-4(x-33)2=369(y+2)236-4(x-33)236=3636(y+2)24-(x-33)29=1

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Because the y -term is first, we can now see that the vertices are $\begin{align*}(h, k \pm a)\end{align*}$ $\begin{align*}(3, -2 \pm 2)\end{align*}$ . That is, $\begin{align*}(3, 0)\end{align*}$ and $\begin{align*}(3, -4)\end{align*}$
::因为y-term是第一个,我们现在可以看到,顶部是(h,ka)(3,-22)。 也就是说,(3,0)和(3,4)

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Example 2
::例2

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Find the center, vertices, foci, and asymptotes of $\begin{align*}\frac{(y-1)^2}{81} - \frac{(x+5)^2}{16}=1\end{align*}$ .
::查找(y- 1) 281 - (x+5) 216=1 的中心、 顶部、 福西 和小数点的(y- 1) 281 - (x+5) 216=1 。

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The center is $\begin{align*}(-5, 1)\end{align*}$ , $\begin{align*}a=\sqrt{81}=9\end{align*}$ and $\begin{align*}b=\sqrt{16}=4\end{align*}$ , and the hyperbola is horizontal because the $\begin{align*}y\end{align*}$ -term is first. The vertices are $\begin{align*}\left(-5, 1 \pm 9\right)\end{align*}$ or $\begin{align*}(-5, 10)\end{align*}$ and $\begin{align*}(-5, -8)\end{align*}$ . Use $\begin{align*}c^2=a^2+b^2\end{align*}$ to find $\begin{align*}c\end{align*}$ .
::中心是 (- 5, 1, a81=9 和 b16=4) , 双曲线是水平的, 因为 Y- 期是第一。 顶部是 (- 5, 1+9) 或 (- 5, 10) 和 (- 5, 8) 。 使用 c2=a2+b2 来查找 c 。

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$$\begin{align*}c^2 &= 81+16=97 \\ c &= \sqrt{97}\end{align*}$$
::c2=81+16=97c=97

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The foci are $\begin{align*}\left(-5, 1+ \sqrt{97}\right)\end{align*}$ and $\begin{align*}\left(-5, 1- \sqrt{97}\right)\end{align*}$ .
::地方是(-5,1-97)和(-5,1-97)。

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The asymptotes are $\begin{align*}y-1= \pm \frac{9}{4}(x+5)\end{align*}$ or $\begin{align*}y= \frac{9}{4}x + 12 \frac{1}{4}\end{align*}$ and
::符号数是 y - 1\\\\\ 94( x+5) 或 y= 94x+1214 和

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$\begin{align*}y= -\frac{9}{4}x - 10 \frac{1}{4}\end{align*}$ .
::y94x -1014。

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Example 3
::例3

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Graph $\begin{align*}25(x-3)^2-4(y-1)^2=100\end{align*}$ and find the foci.
::图25(x-3)2-4(y-1)2=100,并找到角。

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Change this equation to standard form in order to graph.
::将此方程式更改为标准格式以图示 。

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$$\begin{align*}\frac{25(x-3)^2}{100} - \frac{4(y-1)^2}{100} &= \frac{100}{100} \\ \frac{(x-3)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{25} &=1\end{align*}$$
::25(x-3)2100-4(y-1)2100=100100(x-3)24-(y-1)225=1

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center: $\begin{align*}(3, 1)\end{align*}$ , $\begin{align*}a=2\end{align*}$ , $\begin{align*}b=5\end{align*}$
::中心 : (3, 1), a= 2, b= 5

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Find the foci.
::找到怪胎 找到怪胎 找到怪胎 找到怪胎 找到怪胎

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$$\begin{align*}c^2 &= 25+4 = 29 \\ c &= \sqrt{29}\end{align*}$$
::c2=25+4=29c=29

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The foci are $\begin{align*}\left(3, 1+ \sqrt{29}\right)\end{align*}$ and $\begin{align*}\left(3, 1- \sqrt{29}\right)\end{align*}$ .
::方块是(3,129)和(3,129)。

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Example 4
::例4

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Find the equation of the hyperbola with vertices $\begin{align*}(-6, -3)\end{align*}$ and $\begin{align*}(-6, 5)\end{align*}$ and focus $\begin{align*}(-6, 7)\end{align*}$ .
::找出高重波的等式,加上顶部(-6、-3)和(-6、5)以及重点(-6、7)。

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The vertices are $\begin{align*}(-6, -3)\end{align*}$ and $\begin{align*}(-6, 5)\end{align*}$ and the focus is $\begin{align*}(-6, 7)\end{align*}$ . The transverse axis is going to be vertical because the $\begin{align*}x\end{align*}$ -value does not change between these three points. The distance between the vertices is $\begin{align*}|-3 -5|=8\end{align*}$ units, making $\begin{align*}a=4\end{align*}$ . The midpoint between the vertices is the center.
::顶点是 (-6) 和 (-6) , 焦点是 (-6) 。 横轴将是垂直的, 因为 X 值在上述三点之间没有变化 。 顶点之间的距离是 3 - 5 = 8 单位, 得出 a= 4 。 顶点之间的中点是 中点 。

$\begin{align*}\left(-6, \frac{-3+5}{2}\right) = \left(-6, \frac{2}{2}\right) = (-6,1)\end{align*}$

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The focus is $\begin{align*}(-6, 7)\end{align*}$ and the distance between it and the center is 6 units, or $\begin{align*}c\end{align*}$ . Find $\begin{align*}b\end{align*}$ .
::焦点是 (-6,7) , 中心与中心之间的距离是 6 个单位, 或 c. 查找 b.

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$$\begin{align*}36 &= b^2+16 \\ 20 &= b^2 \\ b &= \sqrt{20}=2\sqrt{5}\end{align*}$$
::36=b2+1620=b2b=20=25

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The equation of the hyperbola is $\begin{align*}\frac{(y-1)^2}{16} - \frac{(x+6)^2}{20}=1\end{align*}$ .
::双倍波拉的方程式为(y-1)216-(x+6)220=1。

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Review
::回顾

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Find the center, vertices, foci, and asymptotes of each hyperbola below.
::找到下方每个超重波的中心、 脊椎、 福西 和微粒。

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1. $\begin{align*}\frac{(x+5)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{36}=1\end{align*}$
   :x+5)225-(y+1)236=1
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2. $\begin{align*}(y+2)^2-16(x-6)^2=16\end{align*}$
   :y+2)2-2-16(x-6)2=16
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3. $\begin{align*}\frac{(y-2)^2}{9} - \frac{(x-3)^2}{49}=1\end{align*}$
   :y-2)29-(x-3)249=1
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4. $\begin{align*}25x^2-64(y-6)^2=1600\end{align*}$
   ::25x2-64(y-6)2=1600
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5. $\begin{align*}(x-8)^2 - \frac{(y-4)^2}{9}=1\end{align*}$
   :x-8)2-(y-4)29=1
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6. $\begin{align*}81(y+4)^2-4(x+5)^2=324\end{align*}$
   ::81(y+4)2-4(x+5)2=324
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7. Graph the hyperbola in #1.
   ::在 # 1 中绘制双曲线图 。
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8. Graph the hyperbola in #2.
   ::在 # 2 中绘制双曲线图 。
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9. Graph the hyperbola in #5.
   ::在 # 5 中绘制双曲线图。
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10. Graph the hyperbola in #6.
    ::在 # 6 中绘制双曲线图。

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Using the information below, find the equation of each hyperbola.
::使用以下信息,找到每个超重波的方程式。

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11. vertices: $\begin{align*}(-2, -3)\end{align*}$ and $\begin{align*}(8, -3)\end{align*}$ $\begin{align*}b=7\end{align*}$
    ::脊椎-2,-3)和(8,-3)b=7
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12. vertices: $\begin{align*}(5, 6)\end{align*}$ and $\begin{align*}(5, -12)\end{align*}$ focus: $\begin{align*}(5, -15)\end{align*}$
    ::脊椎5,6)和(5,12)重点5,15)
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13. asymptote: $\begin{align*}y+3=\frac{4}{9}(x+1)\end{align*}$ horizontal transverse axis
    ::浮点图 : y+3=49( x+1) 水平反向轴
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14. foci: $\begin{align*}(-11, -4)\end{align*}$ and $\begin{align*}(1, -4)\end{align*}$ vertex: $\begin{align*}(-8, -4)\end{align*}$
    ::foci-11,-4)和(1,-4)顶部-8,-4)
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15. Extension Rewrite the equation of the hyperbola, $\begin{align*}49x^2-4y^2+490x-16y+1013=0\end{align*}$ in standard form, by completing the square for both the $\begin{align*}x\end{align*}$ and $\begin{align*}y\end{align*}$ terms.
    ::扩展名重写标准格式的49x2-4y2+490x-16y+1013=0超重波的方程式,填写x和y条件的正方形。

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Review (Answers)
::回顾(答复)

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