三角三角区域区域

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From geometry you already know that the area of a triangle is $\begin{align*}\frac{1}{2} \cdot b \cdot h\end{align*}$ .
::从几何学上你已经知道 三角形的面积是12bh

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What if you are given the sides of a triangle are 5 and 6 and the angle between the sides is $\begin{align*}\frac{\pi}{3}\end{align*}$ ? You are not directly given the height, but can you still figure out the area of the triangle?
::如果三角形的两边是5和6,而两边的角是++3呢?您不是直接给定高度的,但您仍能找出三角形的区域吗?

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Finding the Area of Triangles
::寻找三角区域

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The sine function allows you to find the height of any triangle and substitute that value into the familiar triangle area formula. 
::正弦函数允许您找到任何三角形的高度,并将该值替换为熟悉的三角形区域公式。

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Using the sine function, you can isolate $\begin{align*}h\end{align*}$  for height:
::使用正弦函数,您可以将 h 分离为高度:

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$$\begin{align*}\sin C & = \frac{h}{a}\\ a \sin C & = h\end{align*}$$
::C=h=h=h=h=h=h=h=h=h=h=h=h=h=h=h=h=h

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Substituting into the area formula:
::替代区域公式:

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$$\begin{align*}Area & = \frac{1}{2} b \cdot h\\ Area & = \frac{1}{2} b \cdot a \cdot \sin C\\ Area & = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\end{align*}$$
::区域=12bhArea=12basin 区域=12aabsinc

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Recall that the variables used to note the sides and corresponding angles are arbitrary, so long as a side and its opposing angle share the same variable (side $\begin{align*}c\end{align*}$  has an opposing angle $\begin{align*}C\end{align*}$ ). If you were given  $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$ with $\begin{align*}A = 22^\circ, b = 6, c =7\end{align*}$  and asked to find the area, you would use the formula:

$$\begin{align*}Area & = \frac{1}{2} bc \sin A\\ Area & = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin 22^\circ \approx 7.86 \ units^2\end{align*}$$
::提醒注意侧边和相应角度所使用的变量是任意的,只要侧面及其对角有相同的变量(侧面c有一个对角C)。如果给您提供 ABC 和 A=22,b=6,c=7 并被要求找到区域,您将使用公式:Area=12bcsinAAAAAREa=12_677sin227.862 单位。

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The important part is that neither given side corresponds to the given angle.
::重要部分是,给定的一方与给定角度都不对应。

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Bonus Video: There is another way of finding the area of a triangle, . This will be discussed in Example 5. Heron's formula is used when three side lengths are given.
::Bonus Video: 找到三角形区域还有另一种方法, 将在例5中讨论。 当给定三个侧边长度时, 使用Heron的公式 。

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Examples
::实例

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Example 1
::例1

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Earlier, you were given the sides of a triangle are 5 and 6 and the angle between the sides is $\begin{align*}\theta = \frac{\pi}{3}\end{align*}$  and asked to find the area.
::早些时候,你被分配到一个三角形的两边是5和6, 而两边的角是3, 并被要求找到这个区域。

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$\begin{align*}Area = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin \frac{\pi}{3} \approx 12.99 \ units^2 \end{align*}$
::面积=12 5 6 sin 3 12.99 单位2

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Example 2
::例2

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Given  $\begin{align*}\Delta XYZ\end{align*}$ has area 28 square inches, what is the angle included between side length 8 and 9?
::鉴于XYZ的面积为28平方英寸,侧长8和9之间的角是多少?

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$$\begin{align*}Area & = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\\ 28 & = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin C\\ \sin C & = \frac{28 \cdot 2}{8 \cdot 9}\\ C & = \sin^{-1} \left( \frac{28 \cdot 2}{8 \cdot 9} \right) \approx 51.06 ^\circ\end{align*}$$
::区域=12absinC28=1289CsinC=28289C=sin-11(282889)51.06

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Example 3
::例3

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Given triangle  $\begin{align*}ABC\end{align*}$ with $\begin{align*}A = 12^\circ, b = 4\end{align*}$  and  $\begin{align*}Area = 1.7 \ units^2\end{align*}$ , what is the length of side $\begin{align*}c\end{align*}$ ? 
::给定三角ABC, A=12, b=4 和地区=1.7 单位2, 长度是多少 c ?

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$$\begin{align*}Area & = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin A\\ 1.7 & = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 4 \cdot \sin 12^\circ\\ c & = \frac{1.7 \cdot 2}{4 \cdot \sin 12^\circ} \approx 4.09\end{align*}$$
::面积=12=12cbsin=A1.7=12c4sin=12c=1c724sin=12c4.09

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Example 4
::例4

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The area of a triangle is 3 square units. Two sides of the triangle are 4 units and 5 units. What is the measure of their included angle?

$$\begin{align*}3 &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta\\ \theta &= \sin^{-1} \left( \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5} \right) \approx 17.46^\circ\end{align*}$$
::三角形区域为 3 平方 单位 。 三角形的两边为 4 个 单位 和 5 个 单位 。 三角形的角是 3 = 12 4 5 5 sinsin - 1 (3 24 5) 17. 46

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Example 5
::例5

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What is the area of  $\begin{align*}\Delta XYZ\end{align*}$ with $\begin{align*}x = 11, y = 12, z = 13\end{align*}$ ?
::x=11,y=12,z=13的 XYZ区域是什么?

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Since none of the angles are given, there are two possible solution paths. You could use the to find one angle.
::由于没有给出任何角度, 有两个可能的解决方案路径 。 您可以使用这个角度来找到一个角度 。

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$\begin{align*}Area = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \sin 52.02 \approx 61.5 \ units^2\end{align*}$
::12=12=12=13=13=sin=52.02=61.5单位2

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The angle opposite the side of length $\begin{align*}11\end{align*}$  is approximately $\begin{align*}52.02 ^\circ\end{align*}$  therefore the area is:
::长度11对面的角大约为52.02。 因此,这个区域是:

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$\begin{align*}Area = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \sin 52.02 \approx 61.5 \ units^2\end{align*}$
::12=12=12=13=13=sin=52.02=61.5单位2

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Another way to find the area is through the use of Heron’s Formula which is:
::寻找这个区域的另一种方式是使用Heron的公式,即:

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$\begin{align*}Area = \sqrt{s(s - a) (s - b) (s - c)}\end{align*}$
::区域=(s-a)(s-b)(s-c)

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Where $\begin{align*}s\end{align*}$  is the semiperimeter:
::这里的半径是:

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$\begin{align*}s = \frac{a + b + c}{2}\end{align*}$
::=a+b+c2 =a+b+c2

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Using Heron's formula to find the area of $\begin{align*}\Delta XYZ\end{align*}$  returns the same value:
::使用 Heron 的公式查找 XYZ 区域, 返回相同值 :

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$$\begin{align*}s &=\frac{a+b+c}{2}\\ s &=\frac{11+12+13}{2}=\frac{36}{2}=18\\ \ \\ A &= \sqrt{18(18-11)(18-12)(18-13)}\\ A &= \sqrt{18\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}\\ A &= \sqrt {3780} \approx 61.5 \ units^2\end{align*}$$  
::=a+b+c2s=11+12+132=362=18 A=18(18-11)(18-12)(18-13)A=18+7_6__5A=3780=61.5单位2

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Example 5
::例5

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The area of a triangle is 3 square units. Two sides of the triangle are 4 units and 5 units. What is the measure of their included angle?
::三角形的区域是 3 平方 单位 。 三角形的两边是 4 个 单位 和 5 个 单位 。 三角形所包括角度的度量是 多少 ?

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$\begin{align*}3 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta\end{align*}$
::3=12455

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$\begin{align*}\theta = \sin^{-1} \left( \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5} \right) \approx 17.45 \ldots^\circ\end{align*}$
::-=YTET -伊甸园字幕组=- 翻译:

Summary

播放段落 The height of a triangle can be found even if you are only given partial information. ::即使只给出部分信息,也能找到三角形的高度。 播放段落 Using the sine function with a known angle and side, the height can be calculated.  For example, if $\begin{align*}\sin C = h/a,\end{align*}$  then $\begin{align*}h = a \sin C\end{align*}$   ::使用带有已知角度和侧面的正弦函数时,可以计算高度。例如,如果 sinC=h/a,那么h=asinC 播放段落 From there, the area can be found by substituting the height value into the triangle area formula. For example,   $\begin{align*}\text{Area }= \frac{1}{2}b \cdot a \cdot \sin{C}\end{align*}$   ::从这里可以找到此区域, 将高度值替换为三角形区域公式。 例如, 区域 = 12basinC 播放段落 Ensure that the given angle does not correspond to either of the given sides in the formula. ::确保给定角度与公式中任一特定方不相符。

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Review
::回顾

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For 1-11, find the area of each triangle.
::1-11,找到每个三角形的面积

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1. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}a=13, b=15\end{align*}$ , and $\begin{align*}\angle C = 70^\circ\end{align*}$ .
   ::a=13,b=15,和a=70,ABC=70。
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2. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}b=8, c=4\end{align*}$ , and $\begin{align*}\angle A = 58^\circ\end{align*}$ .
   ::b=8,c=4,和A=58,ABC=8,c=4。
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3. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}b=34, c=29\end{align*}$ , and $\begin{align*}\angle A = 125^\circ\end{align*}$ .
   ::b=34,c=29,和A=125
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4. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}a=3, b=7\end{align*}$ , and $\begin{align*}\angle C = 81^\circ\end{align*}$ .
   ::ABC=3,b=7,和QC=81。
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5. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}a=4.8, c=3.7\end{align*}$ , and $\begin{align*}\angle B = 54^\circ\end{align*}$ .
   ::a=4.8,c=3.7,和B=54。
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6. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}a=12, b=5\end{align*}$ , and $\begin{align*}\angle C = 22^\circ\end{align*}$ .
   ::a=12,b=5,和a=22,ABC=22。
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7. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}a=3, b=10\end{align*}$ , and $\begin{align*}\angle C = 65^\circ\end{align*}$ .
   ::ABC 如果a=3,b=10,和C=65。
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8. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}a=5, b=9\end{align*}$ , and $\begin{align*}\angle C = 11^\circ\end{align*}$ .
   ::ABC如果a=5,b=9,和c=11。
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9. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}a=5, b=7\end{align*}$ , and $\begin{align*}c=8\end{align*}$ .
   ::a=5,b=7,c=8的ABC。
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10. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}a=7, b=8\end{align*}$ , and $\begin{align*}c=14\end{align*}$ .
    ::a=7,b=8,c=14的ABC。
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11. $\begin{align*}\Delta ABC\end{align*}$  if $\begin{align*}a=12, b=14\end{align*}$ , and $\begin{align*}c=13\end{align*}$ .
    ::a=12,b=14,c=13的ABC。
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12. The area of a triangle is 12 square units. Two sides of the triangle are 8 units and 4 units. What is the measure of their included angle?
    ::三角形区域为 12 平方 单位 。 三角形的两边为 8 个 单位和 4 个 单位 。 包括角度的测量值是多少 ?
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13. The area of a triangle is 23 square units. Two sides of the triangle are 14 units and 5 units. What is the measure of their included angle?
    ::三角形区域为23平方单位,三角形两侧为14平方单位和5平方单位。三角形角的度量是多少?
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14. Given  $\begin{align*}\Delta DEF\end{align*}$ has area 32 square inches, what is the angle included between side length 9 and 10?
    ::鉴于ZQDEF的面积为32平方英寸,侧长9至10之间的角是多少?
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15. Given  $\begin{align*}\Delta GHI\end{align*}$ has area 15 square inches, what is the angle included between side length 7 and 11?
    ::鉴于GHI的面积为15平方英寸,侧长7至11之间的角是多少?

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::回顾(答复)

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