5.4 中继器

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  中中

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  Medians
  ::中中

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  In a triangle , the line segment that joins a vertex and the midpoint of the opposite side is called a median .
  ::在三角形中,连接顶点和对面中点的线段称为中位数。

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  $\begin{align*}\overline{LO}\end{align*}$ is the median from $\begin{align*}L\end{align*}$ to the midpoint of $\begin{align*}\overline{NM}\end{align*}$ .
  ::LO是从L到NNN中点的中位数

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  If you draw all three medians they will intersect at one point called the centroid .
  ::如果你画出所有三个中位数 他们就会在一个叫做中位数的地方交叉

  

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  The centroid is the “balancing point” of a triangle. This means that if you were to cut out the triangle, the centroid is its center of gravity so you could balance it there.
  ::中央机器人是三角形的“平衡点 ” 。 这意味着如果你切除三角形, 中央机器人就是它的重力中心, 这样你就可以平衡它。

  

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  The Median Theorem states that the medians of a triangle intersect at a point called the centroid that is two-thirds of the distance from the vertices to the midpoint of the opposite sides.
  ::《中位理论》指出,三角形交错点的中位数称为中位数,即从脊椎到对面中点的距离的三分之二。

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  So if $\begin{align*}G\end{align*}$ is the centroid, then:
  ::如果G是机器人,那么:

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  $$\begin{align*}AG &= \frac{2}{3} AD, \ CG = \frac{2}{3} CF, \ EG = \frac{2}{3} BE\\ DG &= \frac{1}{3} AD, \ FG = \frac{1}{3} CF, \ BG = \frac{1}{3} BE\\ \text{And by substitution}: \quad DG &= \frac{1}{2} AG, \ FG = \frac{1}{2} CG, \ BG = \frac{1}{2} EG\end{align*}$$
  ::AG=23AD, CG=23CF, EG=23BEDG=13AD, FG=13CFG=13CF, BG=13BE和替换: DG=12AG, FG=12CG, BG=12EG

  

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  What if you were told that $\begin{align*}J\end{align*}$ , $\begin{align*}K\end{align*}$ , and $\begin{align*}L\end{align*}$ were the midpoints of the sides of $\begin{align*}\triangle FGH\end{align*}$ and that $\begin{align*}M\end{align*}$ was the centroid of $\begin{align*}\triangle FGH\end{align*}$ ? Given the length of $\begin{align*}JK\end{align*}$ , how could you find the lengths of $\begin{align*}JM\end{align*}$ and $\begin{align*}KM\end{align*}$ ?
  ::如果有人告诉你J、K和L是FGH两边的中点,而M是FGH的中间体呢?鉴于jK的长度,你如何找到JM和KM的长度?

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  Examples
  ::实例

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  Example 1
  ::例1

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  $\begin{align*}B, \ D\end{align*}$ , and $\begin{align*}F\end{align*}$ are the midpoints of each side and $\begin{align*}G\end{align*}$ is the centroid. If $\begin{align*}CG = 16\end{align*}$ , find $\begin{align*}GF\end{align*}$ and $\begin{align*}CF\end{align*}$ .
  ::B、D和F是双方的中点,G是中点。如果CG=16,请找到GF和CF。

  

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  Use the Median Theorem.
  ::使用中位定理 。

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  $$\begin{align*}CG&=\frac{2}{3}CF \\ 16 &=\frac{2}{3}CF \\ CF &=24\\\end{align*}$$ .
  ::CG=23CFF16=23CFCF=24。

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  Therefore, $\begin{align*}GF=8\end{align*}$ .
  ::因此,GF=8。

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  Example 2
  ::例2

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  True or false: The median bisects the side it intersects.
  ::真实的或假的:中位数将相交的侧面相交。

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  This statement is true. By definition, a median intersects a side of a triangle at its midpoint. Midpoints divide segments into two equal parts.
  ::这个语句是真实的。 根据定义, 中位数在其中点将三角形的一面交叉。 中点将各段分隔为两个相等的部分 。

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  Example 3
  ::例3

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  $\begin{align*}I, \ K\end{align*}$ , and $\begin{align*}M\end{align*}$ are midpoints of the sides of $\begin{align*}\triangle HJL\end{align*}$ .
  ::我、K和M是ZHJL两边的中点

  

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  If $\begin{align*}JM = 18\end{align*}$ , find $\begin{align*}JN\end{align*}$ and $\begin{align*}NM\end{align*}$ . If $\begin{align*}HN = 14\end{align*}$ , find $\begin{align*}NK\end{align*}$ and $\begin{align*}HK\end{align*}$ .
  ::如果JM=18,请找到JN和NM。如果HN=14,请找到NK和HK。

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  Use the Median Theorem.
  ::使用中位定理 。

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  $\begin{align*}JN = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12\end{align*}$ . $\begin{align*}NM = JM - JN = 18 - 12\end{align*}$ . $\begin{align*}NM = 6.\end{align*}$
  ::JN=2318=12.NM=JM-JN=18-12.NM=6。

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  $\begin{align*}14 = \frac{2}{3} \cdot HK\end{align*}$
  ::14=23HK

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  $\begin{align*}14 \cdot \frac{3}{2} = HK = 21\end{align*}$ . $\begin{align*}NK\end{align*}$ is a third of 21, $\begin{align*}NK = 7\end{align*}$ .
  ::1432=HK=21。NK是21的三分之一,NK=7。

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  Example 4
  ::例4

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  $\begin{align*}H\end{align*}$ is the centroid of $\begin{align*}\triangle ABC\end{align*}$ and $\begin{align*}DC = 5y - 16\end{align*}$ . Find $\begin{align*}x\end{align*}$ and $\begin{align*}y\end{align*}$ .
  ::H是 QABC 和 DC=5y-16. find x and y.

  

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  To solve, use the Median Theorem. Set up and solve equations.
  ::要解析, 请使用中位定理。 设置并解析方程式 。

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  $$\begin{align*}\frac{1}{2} BH= HF & \longrightarrow BH = 2HF && HC = \frac{2}{3} DC \longrightarrow \frac{3}{2} HC = DC\\ 3x + 6 &= 2(2x - 1) && \quad \ \frac{3}{2} (2y + 8) = 5y - 16\\ 3x + 6 &= 4x - 2 && \qquad \ 3y + 12 = 5y - 16\\ 8 &= x && \qquad \ \ \qquad 28 = 2y \longrightarrow 14 = y\end{align*}$$
  ::12BH=HF*BH=2HFHHC=23DC=23DC*32HC=DC3x+6=2(2x-1)、32(2y+8)=5y-163x+6=4x-2、3y+12=5y-168=x28=2y14=y

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  Example 5
  ::例5

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  $\begin{align*}B, \ D\end{align*}$ , and $\begin{align*}F\end{align*}$ are the midpoints of each side and $\begin{align*}G\end{align*}$ is the centroid. If $\begin{align*}BG = 5\end{align*}$ , find $\begin{align*}GE\end{align*}$ and $\begin{align*}BE\end{align*}$
  ::B、D和F是两边的中点,G是中点。如果BG=5,找到GE和BE

  

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  Use the Median Theorem.
  ::使用中位定理 。

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  $$\begin{align*}BG&=\frac{1}{3}BE \\ 5 &=\frac{1}{3}BE \\ BE &=15\\\end{align*}$$ .
  ::BG=13BE5=13BEBE=15。

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  Therefore, $\begin{align*}GE=10\end{align*}$ .
  ::因此,GE=10。

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  Review
  ::回顾

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  For questions 1-4, $\begin{align*}B, \ D\end{align*}$ , and $\begin{align*}F\end{align*}$ are the midpoints of each side and $\begin{align*}G\end{align*}$ is the centroid. Find the following lengths.
  ::问题14、B、D和F为每一方的中点,G为中点。请查找以下长度。

  

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  1. If $\begin{align*}CG = 16\end{align*}$ , find $\begin{align*}GF\end{align*}$ and $\begin{align*}CF\end{align*}$
     ::如果CG=16, 找到GF和CF
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  2. If $\begin{align*}AD = 30\end{align*}$ , find $\begin{align*}AG\end{align*}$ and $\begin{align*}GD\end{align*}$
     ::如果AD=30,请找到AG和GD
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  3. If $\begin{align*}GF = x\end{align*}$ , find $\begin{align*}GC\end{align*}$ and $\begin{align*}CF\end{align*}$
     ::如果GF=x,请见GC和CF
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  4. If $\begin{align*}AG = 9x\end{align*}$ and $\begin{align*}GD = 5x - 1\end{align*}$ , find $\begin{align*}x\end{align*}$ and $\begin{align*}AD\end{align*}$ .
     ::如果 AG=9x 和 GD=5x-1, 则查找 x 和 AD 。

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  Multi-step Problems Find the equation of a median in the $\begin{align*}x-y\end{align*}$ plane.
  ::多步问题 找到 X - y 平面中中位数的方程式 。

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  5. Plot $\begin{align*}\triangle ABC: \ A(-6, -4), \ B(-2, 4)\end{align*}$ and $\begin{align*}C(6, -4)\end{align*}$
     ::ABC:A(-6)-4,B(-2,4)和C(6)-4
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  6. Find the midpoint of $\begin{align*}\overline{AC}\end{align*}$ . Label it $\begin{align*}D\end{align*}$ .
     ::找到AC的中点 标签 D
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  7. Find the slope of $\begin{align*}\overline{BD}\end{align*}$ .
     ::找到BD的斜坡
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  8. Find the equation of $\begin{align*}\overline{BD}\end{align*}$ .
     ::找到BD的方程式
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  9. Plot $\begin{align*}\triangle DEF: \ D(-1, 5), \ E(0, -1), \ F(6, 3)\end{align*}$
     ::Plot DEF: D(-1,5), E(0,-1), F(6,3)
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  10. Find the midpoint of $\begin{align*}\overline{EF}\end{align*}$ . Label it $\begin{align*}G\end{align*}$ .
      ::找出EF的中点 标出G
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  11. Find the slope of $\begin{align*}\overline{DG}\end{align*}$ .
      ::找到DG的斜坡
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  12. Find the equation of $\begin{align*}\overline{DG}\end{align*}$ .
      ::找到DG的方程式

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  Determine whether the following statement is true or false.
  ::确定以下声明是真实的还是虚假的。

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  13. The centroid is the balancing point of a triangle.
      ::中央机器人是三角形的平衡点

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  ::回顾(答复)

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