1.21 对等身份

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  相互身份

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  You are already familiar with the trig identities of sine, cosine, and tangent. As you know, any fraction also has an inverse, which is found by reversing the positions of the numerator and denominator.
  ::您已经熟悉了正弦、 连弦和正弦的三角特性。 正如您所知, 任何分数也有一个反面, 其发现方式是改变分子和分母的位置 。

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  Can you list what the ratios would be for the three trig functions (sine, cosine, and tangent) with the numerators and denominators reversed?
  ::您能否列出三位数函数( 清、 cosine、 和正切) 与数字和分母反转的三位数函数( 清、 cosine、 和正切) 的比率 ?

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  Reciprocal Identities
  ::相互身份

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  A reciprocal of a fraction $\begin{array}{r}\frac{a}{b}\end{array}$ is the fraction $\begin{array}{r}\frac{b}{a}\end{array}$ . That is, we find the reciprocal of a fraction by interchanging the numerator and the denominator, or flipping the fraction. The six trig functions can be grouped in pairs as reciprocals.
  ::分数 ab 的对等是分数 ba 。 也就是说, 我们通过交换分子和分母或翻转分数来发现分数的对等性。 六组函数可以按对数组合为对数。

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   First, consider the definition of the sine function for angles of rotation: $\begin{array}{r}\sin \theta =\frac{y}{r}\end{array}$ . Now consider the cosecant function: $\begin{array}{r}\csc \theta =\frac{r}{y}\end{array}$ . In the unit circle , these values are $\begin{array}{r}\sin \theta =\frac{y}{1}=y\end{array}$ and $\begin{array}{r}\csc \theta =\frac{1}{y}\end{array}$ . These two functions, by definition, are reciprocals. Therefore the sine value of an angle is always the reciprocal of the cosecant value, and vice versa. For example, if $\begin{array}{r}\sin \theta =\frac{1}{2}\end{array}$ , then $\begin{array}{r}\csc \theta =\frac{2}{1}=2\end{array}$ .
  ::首先, 考虑旋转角度的正弦函数定义 : sin_ yr 。 现在考虑 cosecant 函数 : csc_ ry 。 在单位圆圈中, 这些值是 sin\ y1 =y 和 csc% 1y 。 这两个函数根据定义是互惠的。 因此, 一个角的正弦值总是 cosecant 值的对等值, 反之亦然 。 例如, 如果 sin\\ 12, 然后 csc\21 =2 。

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  Analogously, the cosine function and the secant function are reciprocals, and the tangent and cotangent function are reciprocals:
  ::类似地,余弦函数和分离函数是互惠的,正弦函数和余弦函数是互惠的:

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  $$\begin{array}{rlrlr}\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }& & \text{or}& & \cos \theta =\frac{1}{\sec \theta }\\ \cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }& & \text{or}& & \tan \theta =\frac{1}{\cot \theta }\end{array}$$

  
  ::1111111111111111111111112112121212121221212121211212111211111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

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  Using Reciprocal Identities 
  ::使用对等身份

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  Find the value of the following expressions using a reciprocal identity .
  ::使用对等身份查找以下表达式的价值 。

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  1.  $\begin{array}{r}\cos \theta =.3,\sec \theta =?\end{array}$
  ::1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

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    $\begin{array}{r}\sec \theta =\frac{10}{3}\end{array}$
  ::秒103

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  These functions are reciprocals, so if $\begin{array}{r}\cos \theta =.3\end{array}$ , then $\begin{array}{r}\sec \theta =\frac{1}{.3}\end{array}$ . It is easier to find the reciprocal if we express the values as fractions: $\begin{array}{r}\cos \theta =.3=\frac{3}{10}\Rightarrow \sec \theta =\frac{10}{3}\end{array}$ .
  ::这些功能是对等的, 所以如果cos3. 3, 那么 se1.3 。 如果我们以分数表示这些值, 比较容易找到对等的值 : cos.3=310sec103 。

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  2.  $\begin{array}{r}\cot \theta =\frac{4}{3},\tan \theta =?\end{array}$
  ::2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,

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  These functions are reciprocals, and the reciprocal of $\begin{array}{r}\frac{4}{3}\end{array}$ is $\begin{array}{r}\frac{3}{4}\end{array}$ .
  ::这些职能是互惠的,对等的43项是34项。

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  We can also use the reciprocal relationships to determine the domain and range of functions.
  ::我们还可以利用互惠关系来确定职能的领域和范围。

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  3.  $\begin{array}{r}\sin \theta =\frac{1}{2},\csc \theta =?\end{array}$
  ::3 sin 12,csc? 3 sin 12,csc? 3 sin 12,csc?

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  These functions are reciprocals, and the reciprocal of $\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}$ is $\begin{array}{r}2\end{array}$ .
  ::这些职能是互惠的,互惠的12是2。

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  Examples
  ::实例

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  Example 1
  ::例1

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  Earlier, you were asked to list the ratios for the three trigonometric functions with the numerators and denominators reversed. 
  ::早些时候,有人要求你列出三个三角函数的比率,并颠倒数字和分母。

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  Since the three regular trig functions are defined as:
  ::由于三项正规的三角职能的定义如下:

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  $$\begin{array}{r}\sin =\frac{opposite}{hypotenuse}\\ \cos =\frac{adjacent}{hypotenuse}\\ \tan =\frac{opposite}{adjacent}\end{array}$$

  
  ::近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的一地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的近地点的

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  then the three functions - called "reciprocal functions" are:
  ::三种功能——称为“对等功能”是:

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  $$\begin{array}{r}\csc =\frac{hypotenuse}{opposite}\\ \sec =\frac{hypotenuse}{adjacent}\\ \cot =\frac{adjacent}{opposite}\end{array}$$

  
  ::csc = 近地点的近地点。

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  Example 2
  ::例2

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  State the reciprocal function of cosecant.
  ::国家对等作用。

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  The reciprocal function of cosecant is sine.
  ::共生财产的相互功能是不可推卸的。

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  Example 3
  ::例3

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  Find the value of the expression using a reciprocal identity.
  ::使用对等身份查找表达式的价值。

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  $\begin{array}{r}\sec \theta =\frac{2}{\pi },\cos \theta =?\end{array}$
  ::? ? \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

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  These functions are reciprocals, and the reciprocal of $\begin{array}{r}\frac{2}{\pi }\end{array}$ is $\begin{array}{r}\frac{\pi }{2}\end{array}$ .
  ::这些职能是互惠的,对等的2为22。

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  Example 4
  ::例4

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   Find the value of the expression using a reciprocal identity.
  ::使用对等身份查找表达式的价值。

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  $\begin{array}{r}\csc \theta =4,\cos \theta =?\end{array}$
  ::CSC44,cos? 吗?

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   These functions are reciprocals, and the reciprocal of $\begin{array}{r}4\end{array}$ is $\begin{array}{r}\frac{1}{4}\end{array}$ .
  ::这些职能是互惠的,对4是互惠的14。

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  Review
  ::回顾

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  1. State the reciprocal function of secant.
     ::国家是分离的互惠功能。
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  2. State the reciprocal function of cotangent.
     ::国家对等的断裂功能。
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  3. State the reciprocal function of sine.
     ::国家必须履行的对等职能。

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  Find the value of the expression using a reciprocal identity.
  ::使用对等身份查找表达式的价值。

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  4. $\begin{array}{r}\sin \theta =\frac{1}{2},\csc \theta =?\end{array}$
     ::12,csc? 12,csc? 12,csc? 12,csc?
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  5. $\begin{array}{r}\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2},\sec \theta =?\end{array}$
     ::-32秒? -32秒?
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  6. $\begin{array}{r}\tan \theta =1,\cot \theta =?\end{array}$
     ::丹尼1,科特?
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  7. $\begin{array}{r}\sec \theta =\sqrt{2},\cos \theta =?\end{array}$
     ::-2,2,cos? -2,cos? -2,cos? -2,cos,2,cos,cos?
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  8. $\begin{array}{r}\csc \theta =2,\sin \theta =?\end{array}$
     ::CSC2,sin? 吗?
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  9. $\begin{array}{r}\cot \theta =-1,\tan \theta =?\end{array}$
     ::科特1号,唐尼1号?
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  10. $\begin{array}{r}\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2},\csc \theta =?\end{array}$
      ::三十二、三十二、三十三、三十三、三十三、三十四、三十四、三十四、三十二、三十二、三十四、三十二、三十二、三十二、三十二、三十二、三十二、三十四、三十二、三十二、三十二、三十二、三十二、三十二、三十二、三十三、三十二、三十二、三十二、三十二、三十二、三、三、三、三、三、三、三、四、四、四、四、四、四、四、四、四、四、四、四、四、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、六、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二、十二
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  11. $\begin{array}{r}\cos \theta =0,\sec \theta =?\end{array}$
      ::0,sec?
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  12. $\begin{array}{r}\tan \theta =\end{array}$ undefined $\begin{array}{r},\cot \theta =?\end{array}$
      ::没定义吗? Cot?
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  13. $\begin{array}{r}\csc \theta =\frac{2\sqrt{3}}{3},\sin \theta =?\end{array}$
      ::CSC233,西纳?
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  14. $\begin{array}{r}\sin \theta =\frac{-1}{2}\end{array}$ and $\begin{array}{r}\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{3},\cos \theta =?\end{array}$
      ::12 和 tan , 33 , cos ?
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  15. $\begin{array}{r}\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$ and $\begin{array}{r}\tan \theta =1,\sin \theta =?\end{array}$
      ::22 和 tan #1,sin #?

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  ::回顾(答复)

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