9.2 切线线

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  切线线

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  Tangent Line Theorems
  ::切切线线定理

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  There are two important theorems about tangent lines.
  ::有两条重要的理论 是关于正切线的

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  1.  Tangent to a Circle Theorem : A line is tangent to a circle if and only if the line is perpendicular to the radius drawn to the point of tangency .
  ::1. 圆形定理的切线:线与圆形的切线相切,条件是且只有在线线与划入正切点的半径垂直。

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  $\begin{align*}\overleftrightarrow{BC}\end{align*}$ is tangent at point $\begin{align*}B\end{align*}$ if and only if $\begin{align*}\overleftrightarrow{BC} \perp \overline{AB}\end{align*}$ .
  ::BC在B点是相切的,如果,而且只有在BCABA的情况下。

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  This theorem uses the words “if and only if,” making it a biconditional statement , which means the converse of this theorem is also true.
  ::这一定理使用了“如果而且只有在”等字,使该定理成为两条条件的声明,这意味着该定理的反义也是真实的。

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  2.  Two Tangents Theorem: If two tangent segments are drawn to one circle from the same external point, then they are congruent .
  ::2. 两个切线定理:如果从同一个外部点将两个正切区段划为一个圆形,那么它们就是相同的。

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  $\begin{align*}\overline{BC}\end{align*}$ and $\begin{align*}\overline{DC}\end{align*}$ have $\begin{align*}C\end{align*}$ as an endpoint and are tangent; $\begin{align*}\overline{BC} \cong \overline{DC}\end{align*}$ .
  ::BC和CC是终点,相切; BC和C是终点; BC。

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  What if a line were drawn outside a circle that appeared to touch the circle at only one point? How could you determine if that line were actually a tangent?
  ::如果一条线是在似乎只触及圆点的圆外划出的,那又如何?你如何确定这条线是否实际是相左线呢?

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  Examples
  ::实例

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  Example 1
  ::例1

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  Determine if the triangle below is a right triangle .
  ::确定下方三角形是否为右三角形。

  

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  Use . $\begin{align*}4\sqrt{10}\end{align*}$ is the longest side, so it will be $\begin{align*}c\end{align*}$ .
  ::使用 。 410 是最长的一面, 所以这将是 c 。

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  Does

  $$\begin{align*}8^2+10^2 \ & = \ \left ( 4\sqrt{10} \right )^2?\\ 64+100 & \ne 160\end{align*}$$
  ::82+102=(410)2?64+100=160

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  $\begin{align*}\triangle ABC\end{align*}$ is not a right triangle. From this, we also find that $\begin{align*}\overline{CB}\end{align*}$ is not tangent to $\begin{align*}\bigodot A\end{align*}$ .
  ::ABC不是一个正确的三角形,

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  Example 2
  ::例2

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  If $\begin{align*}D\end{align*}$ and $\begin{align*}C\end{align*}$ are the centers and $\begin{align*}AE\end{align*}$ is tangent to both circles, find $\begin{align*}DC\end{align*}$ .
  ::如果D和C是中心 而AE对双方都不同 找到DC

  

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  $\begin{align*}\overline{AE} \perp \overline{DE}\end{align*}$ and $\begin{align*}\overline{AE} \perp \overline{AC}\end{align*}$ and $\begin{align*}\triangle ABC \sim \triangle DBE\end{align*}$ by .
  ::和AEAC和ABCDBE的到来。

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  To find $\begin{align*}DB\end{align*}$ , use the Pythagorean Theorem.
  ::找到DB,使用毕达哥里安神话

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  $$\begin{align*}10^2+24^2&=DB^2\\ 100+576&=676\\ DB&=\sqrt{676}=26\end{align*}$$
  ::102+242=DB2100+576=676DB=676=26

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  To find $\begin{align*}BC\end{align*}$ , use similar triangles . $\begin{align*}\frac{5}{10}=\frac{BC}{26} \longrightarrow BC=13. \ DC=DB+BC=26+13=39\end{align*}$
  ::要找到 BBC, 请使用类似的三角形 。 510= BC26BC=13。 DC=DB+BC=26+13=39

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  Example 3
  ::例3

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  $\begin{align*}\overline{CB}\end{align*}$ is tangent to $\begin{align*}\bigodot A\end{align*}$ at point $\begin{align*}B\end{align*}$ . Find $\begin{align*}AC\end{align*}$ . Reduce any radicals.
  ::CB与B点的A相切 找到AC 减少任何激进分子

  

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  $\begin{align*}\overline{CB}\end{align*}$ is tangent, so $\begin{align*}\overline{AB} \perp \overline{CB}\end{align*}$ and $\begin{align*}\triangle ABC\end{align*}$ a right triangle. Use the Pythagorean Theorem to find $\begin{align*}AC\end{align*}$ .
  ::CB是正切的,所以ABC和ABC是右三角。使用毕达哥伦理论来找到AC。

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  $$\begin{align*}5^2+8^2&=AC^2\\ 25+64&=AC^2\\ 89&=AC^2\\ AC&=\sqrt{89}\end{align*}$$
  ::52+82=AC225+64=AC289=AC2AC_89

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  Example 4
  ::例4

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  Using the answer from Example A above, find $\begin{align*}DC\end{align*}$ in $\begin{align*}\bigodot A\end{align*}$ . Round your answer to the nearest hundredth.
  ::使用上文例A的回答, 请在 QA 中找到 DC。 将您的回答回溯到最近的第一百次 。

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  $$\begin{align*}DC & = AC - AD\\ DC & = \sqrt{89}-5 \approx 4.43\end{align*}$$
  ::DC=AC-ADDC 89-54.43

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  Example 5
  ::例5

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  Find the perimeter of $\begin{align*}\triangle ABC\end{align*}$ .
  ::找到ABC的周边

  

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  $\begin{align*}AE = AD, \ EB = BF,\end{align*}$ and $\begin{align*}CF = CD\end{align*}$ . Therefore, the perimeter of $\begin{align*}\triangle ABC=6+6+4+4+7+7=34\end{align*}$ .
  ::AE=AD,EB=BF,CF=CD。因此,ZABC=6+6+4+4+4+7+7=34的周界。

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  $\begin{align*}\bigodot G\end{align*}$ is inscribed in $\begin{align*}\triangle ABC\end{align*}$ . A circle is inscribed in a polygon if every side of the polygon is tangent to the circle.
  ::ABC 中输入了 G。如果多边形的每一面与圆正切,则在多边形中输入一个圆。

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  Review
  ::回顾

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  Determine whether the given segment is tangent to $\begin{align*}\bigodot K\end{align*}$ .
  ::确定给定的区段是否正切到 _K 。

  1. 
  2. 
  3. 

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  Find the value of the indicated length(s) in $\begin{align*}\bigodot C\end{align*}$ . $\begin{align*}A\end{align*}$ and $\begin{align*}B\end{align*}$ are points of tangency. Simplify all radicals.
  ::查找 QC. A 和 B 中标明的长度值是相切点。 简化所有基体 。

  4. 
  5. 
  6. 
  7. 
  8. 
  9. 

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  $\begin{align*}A\end{align*}$ and $\begin{align*}B\end{align*}$ are points of tangency for $\begin{align*}\bigodot C\end{align*}$ and $\begin{align*}\bigodot D\end{align*}$ .
  ::A和B是C和D的切合点。

  

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  10. Is $\begin{align*}\triangle AEC \sim \triangle BED\end{align*}$ ? Why?
      ::为什么?
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  11. Find $\begin{align*}CE\end{align*}$ .
      ::找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE,找CE
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  12. Find $\begin{align*}BE\end{align*}$ .
      ::寻找BE。
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  13. Find $\begin{align*}ED\end{align*}$ .
      ::寻找ED。
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  14. Find $\begin{align*}BC\end{align*}$ and $\begin{align*}AD\end{align*}$ .
      ::找到BC和AD

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  $\begin{align*}\bigodot A\end{align*}$ is inscribed in $\begin{align*}BDFH\end{align*}$ .
  ::A以BDFH登记。

  

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  15. Draw a circle inscribed in a square. If the radius of the circle is 5, what is the perimeter of the square?
      ::绘制在方形中标注的圆。如果圆的半径是 5,则方形的周界是什么?
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  16. Can a circle be inscribed in a rectangle? If so, draw it. If not, explain.
      ::一个圆可以嵌入矩形吗?如果可以,请绘制。如果没有,请解释。
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  17. Draw a triangle with two sides tangent to a circle, but the third side is not.
      ::绘制三角形,将两面切换为圆,但第三面不是。
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  18. Can a circle be inscribed in an obtuse triangle? If so, draw it. If not, explain.
      ::一个圆可以刻在隐形三角形中吗? 如果是, 请绘制它。 如果没有, 请解释 。
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  19. Fill in the blanks in the proof of the Two Tangents Theorem.
      ::填满两个丹根人理论的 证据中的空白

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  Given : $\begin{align*}\overline{AB}\end{align*}$ and $\begin{align*}\overline{CB}\end{align*}$ with points of tangency at $\begin{align*}A\end{align*}$ and $\begin{align*}C\end{align*}$ . $\begin{align*}\overline{AD}\end{align*}$ and $\begin{align*}\overline{DC}\end{align*}$ are radii.
  ::参考:A.C.A.A.A.A.和C.C.C.C.

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  Prove : $\begin{align*}\overline{AB} \cong \overline{CB}\end{align*}$
  ::证明:

  

  Statement	Reason
  1.	1.
  2. $\begin{align*}\overline{AD} \cong \overline{DC}\end{align*}$	2.
  3. $\begin{align*}\overline{DA} \perp \overline{AB}\end{align*}$ and $\begin{align*}\overline{DC} \perp \overline{CB}\end{align*}$	3.
  4.	4. Definition of perpendicular lines
  5.	5. Connecting two existing points
  6. $\begin{align*}\triangle ADB\end{align*}$ and $\begin{align*}\triangle DCB\end{align*}$ are right triangles	6.
  7. $\begin{align*}\overline{DB} \cong \overline{DB}\end{align*}$	7.
  8. $\begin{align*}\triangle ABD \cong \triangle CBD\end{align*}$	8.
  9. $\begin{align*}\overline{AB} \cong \overline{CB}\end{align*}$	9.

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  20. Fill in the blanks, using the proof from #21.
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      1. $\begin{align*}ABCD\end{align*}$ is a _____________ (type of quadrilateral).
         ::ABCD是一种(四边形类型)。
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      2. The line that connects the ___________ and the external point $\begin{align*}B\end{align*}$ __________ $\begin{align*}\angle ABC\end{align*}$ .
         ::连接 和 外部点 B ABC 的线条。
      
      ::填入空白, 使用 # 21 的证明 。 ABCD 是 (四边形的类型) 。 连接 和 外部点 B ABC 的线 。
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  21. Points $\begin{align*}A, \ B,\end{align*}$ and $\begin{align*}C\end{align*}$ are points of tangency for the three tangent circles. Explain why $\begin{align*}\overline{AT} \cong \overline{BT} \cong \overline{CT}\end{align*}$ .
      ::A点、B点和C点是三个相近的圈子的相切点。

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  ::回顾(答复)

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