9.6 圆圆内规定的四方

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  在圆圆中给定的四方

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  Inscribed Quadrilaterals in Circles
  ::在圆圆中给定的四方

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  An inscribed polygon is a polygon where every vertex is on the circle , as shown below.
  ::刻录的多边形是多边形,每个顶点都在圆上,如下文所示。

  

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  For inscribed quadrilaterals in particular, the opposite angles will always be supplementary.
  ::特别是对于特定四边形而言,相反的角度总是补充性的。

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  Inscribed Quadrilateral Theorem : A quadrilateral can be inscribed in a circle if and only if the opposite angles are supplementary.
  ::给定的四方定理:如果而且只有在相反角度是补充的时,四边形才能在圆内标注。

  

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  If $\begin{align*}ABCD\end{align*}$ is inscribed in $\begin{align*}\bigodot E\end{align*}$ , then $\begin{align*}m\angle A+m\angle C=180^\circ\end{align*}$ and $\begin{align*}m\angle B+m\angle D=180^\circ\end{align*}$ . Conversely, If $\begin{align*}m\angle A+m\angle C=180^\circ\end{align*}$ and $\begin{align*}m\angle B+m\angle D=180^\circ\end{align*}$ , then $\begin{align*}ABCD\end{align*}$ is inscribed in $\begin{align*}\bigodot E\end{align*}$ .
  ::如果 ABCD 在 E 中注册, 那么 mA+mC=180 和 mB+mD=180 。 相反, 如果 mA+mC=180 和 mB+mD=180 , 那么 ABCD 则在 E 中注册 。

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  What if you were given a circle with a quadrilateral inscribed in it? How could you use information about the arcs formed by the quadrilateral and/or the quadrilateral's angle measures to find the measure of the unknown quadrilateral angles?
  ::如果给您一个圆并刻上四边形呢? 您如何使用由四边形和(或)四边形角度措施形成的弧的信息来找到未知四边形角度的量度?

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  Examples
  ::实例

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  Example 1
  ::例1

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  Find the values of the missing variables.
  ::查找缺失变量的值。

  1. 

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  $$\begin{align*}x+80^\circ &= 180^\circ && y+71^\circ = 180^\circ\\ x &= 100^\circ && y=109^\circ\end{align*}$$
  ::x+80180y+71180x=100y=109

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  2.  
     $$\begin{align*}z+93^\circ &=180^\circ && x=\frac{1}{2} (58^\circ+106^\circ) && y+82^\circ=180^\circ\!\\ z &= 87^\circ && x=82^\circ && y = 98^\circ\end{align*}$$
     ::z+93180x=12(58106)y+82180z=87x=82y=98

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  Example 2
  ::例2

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  Find $\begin{align*}x\end{align*}$ and $\begin{align*}y\end{align*}$ in the picture below.
  ::在下面的图片中查找 x 和 y 。

  

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  $$\begin{align*}(7x+1)^\circ+105^\circ& =180^\circ && (4y+14)^\circ+(7y+1)^\circ=180^\circ\\ 7x+106^\circ&=180^\circ && \qquad \qquad \quad \ 11y+15^\circ=180^\circ\\ 7x&=74 && \qquad \qquad \qquad \qquad 11y=165\\ x&=10.57 && \qquad \qquad \qquad \qquad \quad y=15\end{align*}$$
  :7x+1) 105 180(4y+14) (7y+1) 1807x+10618011y+15180187x=7411y=165x=10.57y=15)

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  Example 3
  ::例3

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  Find the values of $\begin{align*}x\end{align*}$ and $\begin{align*}y\end{align*}$ in $\begin{align*}\bigodot A\end{align*}$ .
  ::在 A 中查找 x 和 y 的值。

  

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  Use the Inscribed Quadrilateral Theorem. $\begin{align*}x^\circ + 108^\circ =180^\circ\end{align*}$ so $\begin{align*} x=72^\circ\end{align*}$ . Similarly, $\begin{align*}y^\circ + 88^\circ = 180^\circ\end{align*}$ so $\begin{align*}y=92^\circ\end{align*}$ .
  ::使用给定的四方论。 x108180@ so x=72。 类似地,y88180@y=92。

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  Example 4
  ::例4

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  Quadrilateral $\begin{align*}ABCD\end{align*}$ is inscribed in $\begin{align*}\bigodot E\end{align*}$ . Find  $\begin{align*}m\angle A\end{align*}$ ,  $\begin{align*}m\angle B\end{align*}$ ,  $\begin{align*}m\angle C\end{align*}$ , and  $\begin{align*}m\angle D\end{align*}$ .
  ::“四边形ABCD”在“E. find mA, mB, mC, and mD.”中刻录。

  

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  First, note that $\begin{align*}m\widehat{AD}=105^\circ\end{align*}$ because the complete circle must add up to $\begin{align*}360^\circ\end{align*}$ .
  ::首先,请注意 mAD=105,因为整圆必须加到360。

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  $\begin{align*}m\angle A=\frac{1}{2}m\widehat{BD}=\frac{1}{2}(115+86)=100.5^\circ\end{align*}$
  ::mA=12mBD=12(115+86)=100.5

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  $\begin{align*}m\angle B=\frac{1}{2}m\widehat{AC}=\frac{1}{2}(86+105)=95.5^\circ\end{align*}$
  ::mB=12mAC=12(86+105)=95.5

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  $\begin{align*}m\angle C=180^\circ-m\angle A=180^\circ-100.5^\circ=79.5^\circ\end{align*}$
  ::mC=180mA=180100.579.5

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  $\begin{align*}m\angle D=180^\circ-m\angle B=180^\circ-95.5^\circ=84.5^\circ\end{align*}$
  ::mD=180mB=18095584.5

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  Review
  ::回顾

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  Fill in the blanks.
  ::填满空白。

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  1. A "> $\begin{align*}(n)\end{align*}$ _______________ polygon has all its vertices on a circle.
     ::A 多边形在圆上具有全部的顶点。
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  2. The _____________ angles of an inscribed quadrilateral are ________________.
     ::一个四边形的 角度是 。

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  Quadrilateral $\begin{align*}ABCD\end{align*}$ is inscribed in $\begin{align*}\bigodot E\end{align*}$ . Find:
  ::E 中刻录了四边形 ABCD。 查找 :

  

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  3. $\begin{align*}m\angle DBC\end{align*}$
     ::mDBC
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  4. $\begin{align*}m \widehat{BC}\end{align*}$
     ::立方米( mZZZBC)
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  5. $\begin{align*}m \widehat{AB}\end{align*}$
     ::m AB
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  6. $\begin{align*}m\angle ACD\end{align*}$
     ::mACD
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  7. $\begin{align*}m\angle ADC\end{align*}$
     ::mADC
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  8. $\begin{align*}m\angle ACB\end{align*}$
     ::mACB( mACB)

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  Find the value of $\begin{align*}x\end{align*}$ and/or $\begin{align*}y\end{align*}$ in $\begin{align*}\bigodot A\end{align*}$ .
  ::在 {A} 中查找 x 和/或 y 值。

  9. 
  10. 
  11. 

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  Solve for $\begin{align*}x\end{align*}$ .
  ::解决x。

  12. 
  13. 

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  Review (Answers)
  ::回顾(答复)

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