Course: 7.12 宗义理论和扩展

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二共论和扩展

Multiplying binomials is not a terribly difficult exercise, but it can certainly be time consuming with higher exponents, for example:
::倍增效应并不是一项非常困难的工作,但与较高级的指数相比,它当然会耗费时间,例如:

Calculate: $\begin{aligned} (x - 3)^{2} \end{aligned}$ is pretty easy:
::计算: (x-3) 2 相当容易 :

$\begin{aligned} (x - 3) \cdot (x - 3) \end{aligned}$ = $\begin{aligned} (x^{2} - 6 x + 9) \end{aligned}$
:x-3)____(x-3)=(x2-6x+9)

...not bad. BUT...
::不错,但是...

Calculate: $\begin{aligned} (x - 3)^{5} \end{aligned}$
::计算x-3)5

This is: $\begin{aligned} (x - 3) \cdot (x - 3) \cdot (x - 3) \cdot (x - 3) \cdot (x - 3) \end{aligned}$
:x-3)-(x-3)-(x-3)-(x-3)-(x-3)-(x-3)-(x-3)-(x-3)-(x-3)-(x-3)-(x-3)-(x-3)

First we "foil" the first two terms to get $\begin{aligned} (x^{2} - 6 x + 9) \end{aligned}$
::首先我们先“foil”前两个条件(x2 - 6x+9)

2nd, we multiply $\begin{aligned} (x^{2} - 6 x + 9) \end{aligned}$ by $\begin{aligned} (x - 3) \end{aligned}$ , yielding: $\begin{aligned} (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27) \end{aligned}$
::第二,我们乘以(x-3)乘以(x2-6x+9),产生x3-9x2+27-27)

3rd, we multiply $\begin{aligned} (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27) \end{aligned}$ by $\begin{aligned} (x - 3) \end{aligned}$
::第三,我们乘(x3-9x2+27-27)乘以(x-3)

... and so on.
::. . . . . . . . . . . . . . . . . . 等 .

Definitely do-able, but a nightmare of a job, particularly by hand.
::绝对可行,但是一个工作的噩梦特别是亲手做的

Isn't there an easier way?
::有没有一个更容易的方法?

Binomial Theorem and Expansions
::二共论和扩展

There is a particular pattern in combinations that is seen in the expansion of polynomials of the form ( x + y ) ⁿ .
::从以(x + y)n为形式的多面体的扩展中可以看出,在组合中有一种特殊模式。

This pattern is most commonly displayed in a triangle:
::此图案通常在三角形中显示 :

This triangle is referred to as Pascal’s triangle, named after mathematician Blaise Pascal, although other mathematicians before him worked with these numbers. The numbers in the triangle can be used to generate more rows: notice that if you add two consecutive numbers, you get the number between and below them in the next row.
::这个三角形被称为 Pascal 的三角形, 以数学家 Blaise Pascal 命名, 尽管在他之前的其他数学家使用这些数字。三角形中的数字可以用来生成更多的行: 请注意, 如果您在下一行中加上两个连续的数字, 您就会得到它们之间和以下的数字。

We can generalize this pattern as follows: $\begin{aligned} (\binom{n}{r - 1}) + (\binom{n}{r}) = (\binom{n + 1}{r}) \end{aligned}$ .
::我们可以将这种模式概括如下nr-1)+(nr)=(n+1r)。

Binomial Expansion
::扩大二进制扩张

To expand a binomial is to multiply all of the factors. The resulting polynomial is in standard form. For example:
::要扩展二进制是将所有因素乘以倍增。由此产生的多数值以标准形式出现。例如 :

( x + y ) ² = ( x + y ) ( x + y ) = x ² + xy + xy + y ² = x ² + 2 xy + y ²
:x + y) 2 = (x + y) (x + y) = x2 + xy + xy + xy + y + y2 = x2 + 2xy + y2)

If we expand ( x + y ) ³ , we get:
::如果我们扩展 (x + y) 3, 我们就会得到 :

	( x + y ) ³	= ( x + y ) ( x + y ) ( x + y )
		= ( x + y ) ( x ² + 2 xy + y ² )
		= x ³ + 2 x ² y + xy ² + x ² y + 2 xy ² + y ³
		= x ³ + 3 x ² y + 3 xy ² + y ³

Notice that the coefficients of each polynomial correspond to a row of Pascal’s triangle.
::请注意,每种多元系数的系数与帕斯卡尔三角形的一行对应。

Also notice that the exponents of x descend, and the exponents of y ascend with each term. These are key aspects of the binomial theorem.
::同时要注意x的指数下降,y的指数上升,每个学期。这些是二元论的关键方面。

The Binomial Theorem
::二元论论

The Binomial Theorem can be stated using a summation:
::Binomial定理可以用一个总和来说明:

	$\begin{aligned} (x + y)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} ((\binom{n}{r}) x^{n - r} y^{r}) \end{aligned}$

This is a very succinct way of summarizing the pattern in a binomial expansion. Let’s return to ( x + y ) ³ to see how the theorem works.
::这是一种非常简洁的概括二进制扩张模式的方法。让我们回到 (x + y) 3 , 看看理论是如何运作的。

	$\begin{aligned} (x + y)^{3} \end{aligned}$	$\begin{aligned} = (\binom{3}{0}) x^{3 - 0} y^{0} + (\binom{3}{1}) x^{3 - 1} y^{1} + (\binom{3}{2}) x^{3 - 2} y^{2} + (\binom{3}{3}) x^{3 - 3} y^{3} \end{aligned}$
		$\begin{aligned} = 1 x^{3} \cdot 1 + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + 1 \cdot x^{0} \cdot y^{3} \end{aligned}$
		$\begin{aligned} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \end{aligned}$

Again, the exponents on x descend from 3 to 0. The exponents on y ascend from 0 to 3. The coefficients on the terms correspond to row 3 of Pascal’s triangle. These coefficients are, not surprisingly, referred to as binomial coefficients!
::同样,x的指数从3下降到0。 y的指数从0上升到3。条件上的系数相当于帕斯卡尔三角形第3行。这些系数毫不奇怪地被称为二进制系数!

Given this theorem, we can expand any binomial without having to multiply all of the factors.
::鉴于这一理论,我们可以扩大任何二元论,而不必增加所有因素。

Finding a Specific Term in a Binomial Expansion
::寻找二进制扩展中的具体期限

Finding a term in an expansion can be used to answer a particular kind of probability question.
::在扩大中找到一个术语可用于回答特定种类的概率问题。

Consider an experiment , in which there are two possible outcomes , such as flipping a coin. If we flip a coin over and over again, this is referred to as a Bernoulli trial . In each flip (“experiment”), the probability of getting a head is 0.5, and the probability of getting a tail is 0.5. (Note: this is true for flipping a coin, but not for other situations. That is, it’s not always “50-50 chance!) Now say we flip a coin 25 times. What is the probability of getting exactly 10 heads?
::想象一个实验,其中可能有两个结果,比如翻硬币。如果我们一次又一次翻硬币,这被称为伯努利审判。在每次翻转(“实验 ” ) 中,获得头部的概率是0.5,获得尾部的概率是0.5。 (注意:这对打硬币来说是真实的,但对于其他情况来说并非如此。也就是说,这并不总是“ 50- 50 机会 ! ” 现在说我们翻硬币25 次。准确获得10个头的概率是多少?

The answer to this question is a term of a binomial expansion. That is, the probability of getting 10 heads from 25 coin tosses is: $\begin{aligned} (\binom{25}{10}) (0.5)^{10} (0.5)^{15} \approx 0.0974 \end{aligned}$ , or about a 10% chance.
::这个问题的答案是二进制扩张的术语。也就是说, 从25个硬币上获得10个头的概率是: (2510) (0.5) 10(0.5) 15 0.0974) , 或大约10%的概率。

Examples
::实例

Example 1
::例1

Use the Binomial Theorem to expand each polynomial:
::使用 Binomial 定理来扩展每个多面性 :

(2 x + a ) ⁴
:2x+a)4

	= 1(2 x ) ⁴ ( a ) ⁰ + 4(2 x ) ³ ( a ) ¹ + 6(2 x ) ² ( a ) ² + 1(2 x ) ⁰ ( a ) ⁴
	= 16 x ⁴ + 32 x ³ a + 24 x ² a ² + 8 x'a ³ + a ⁴

Note that it is easier to simply use the numbers from the appropriate row of the triangle than to write out all of the coefficients as combinations. However, if n is large, it may be easier to use the combinations.
::请注意,简单使用三角形相应行的数字比将所有系数作为组合来填报要容易得多。但是,如果系数大,则使用组合可能比较容易。

( x - 3) ⁵
:x-3-3)5

	= 1( x ) ⁵ (-3) ⁰ + 5( x ) ⁴ (-3) ¹ + 10( x ) ³ (-3) ² + 10( x ) ² (-3) ³ + 5( x ) ¹ (-3) ⁴ + 1( x ) ⁰ (-3) ⁵
	= x ⁵ - 1 x ⁴ a + 90 x ³ - 270 x ² + 405 x - 243

Notice that in this expansion, the terms alternate signs. This is the case because the second term in the binomial is -3. When expanding this kind of polynomial, be careful with your negatives!
::请注意, 在这种扩展中, 使用替代符号的术语。这是因为二进制的第二学期是 - 3 。在扩展这种多等性时, 请注意您的负面效果 !

We can also use the Binomial Theorem to identify a particular term or coefficient.
::我们也可以使用二元论来确定一个特定术语或系数。

Example 2
::例2

Identify the 3 ^rd term of the expansion of (2 x + 3) ⁶ .
::确定扩大的第三个任期(2x+3)6。

The 3 ^rd term is $\begin{aligned} (\binom{6}{2}) (2 x)^{4} 3^{2} = 15 \cdot 16 x^{4} \cdot 9 = 2160 x^{4} \end{aligned}$
::第三个学期是(62)(2x)432=1516x4}9=2160x4

Keep in mind that row 6 of Pascal’s triangle starts with $\begin{aligned} (\binom{6}{0}) \end{aligned}$ , so the coefficient of the third term in the expansion is $\begin{aligned} (\binom{6}{2}) \end{aligned}$ . Also keep in mind that the first term includes (2 x ) ⁶ and 3 ⁰ , so the third term includes (2 x ) ⁴ and 3 ² .
::记住帕斯卡尔三角形的第6行从(60)开始,因此扩大后第三学期的系数是(62),还铭记第一个学期包括(2x)6和30,因此第三个学期包括(2x)4和32。

Example 3
::例3

What is the coefficient of $\begin{aligned} x^{2} \end{aligned}$ in the expansion of $\begin{aligned} (3 x + 3)^{3} \end{aligned}$ ?
::在扩张(3x+3)3时x2系数是多少?

Use the Binomial Theorem for the second term:
::第二个任期使用 Binomial 定理 :

$\begin{aligned} _{3} C_{2} (3 x)^{2} (3)^{3 - 2} \end{aligned}$
::3C2(3x)2(3)(3)-3-2

$\begin{aligned} 3 (3 x)^{2} (3)^{1} = 81 \end{aligned}$
::3(3x)2(3)1=81

Example 4
::例4

Use Pascal's triangle to find the coefficient of $\begin{aligned} x^{2} y \end{aligned}$ in $\begin{aligned} (x - y)^{3} \end{aligned}$ .
::使用 Pascal 三角形在 (x-y) 3 中找到 x2y 系数。

First, create Pascal's triangle. Remember to add 1's on the ends and the sum of the two numbers above to get the new numbers.
::首先, 创建 Pascal 的三角形。记住在结尾加上 1 和上面两个数字的总和, 以获得新数字。

\begin{aligned} 1 \end{aligned}

\begin{aligned} 1 - 1 \end{aligned}

\begin{aligned} 1 - 2 - 1 \end{aligned}

$\begin{aligned} 1 - 3 - 3 - 1 \end{aligned}$

We only had to go up to the third row, we are looking for the 2nd term, so we count over $\begin{aligned} 1 + 1 \end{aligned}$ from the left to get our coefficient of 3. Don't forget to start with the 1st term.
::我们只需要上到第三排, 我们正在寻找第二个学期, 所以我们从左侧数数1+1, 才能取得3的系数。不要忘了从第一个学期开始。

We use the formula for the second term:
::我们用第二个任期的公式:

$\begin{aligned} _{3} C_{2} x^{2} (- y)^{3 - 2} \end{aligned}$
::3C2x2(-y)3-2

$\begin{aligned} 3 x^{2} (- y)^{1} \end{aligned}$
::3x2(-y)1

So we get an answer of -3.
::因此,我们得到了一个3 -3的答案。

Example 5
::例5

Expand: $\begin{aligned} (3 x - 3)^{6} \end{aligned}$
::展开: (3x-3) 6

We will expand out each term separately:
::我们将分别扩大每个任期:

We use the formula for term 0:
::我们使用0的公式:

$\begin{aligned} _{6} C_{6} (3 x)^{6} (- 3)^{6 - 6} = (3 x)^{6} (- 3)^{0} = 729 x^{6} \end{aligned}$
::6C6(3x)6(-3)6(-3)6-6=(3x)6(-3x)6(-3)0=729x6

...and term 1:
::...和1期:

$\begin{aligned} _{6} C_{5} (3 x)^{5} (- 3)^{6 - 5} = 6 (3 x)^{5} (- 3)^{1} = - 4374 x^{5} \end{aligned}$
::6C5(3x)5(-3)6-5=6(3x)5(-3)14374x5

...and term 2:
::和2期:

$\begin{aligned} _{6} C_{4} (3 x)^{4} (- 3)^{6 - 4} = 15 (3 x)^{4} (- 3)^{2} = 10, 935 x^{4} \end{aligned}$
::6C4(3x)4(-3)6-4=15(3x)4(-3)2=10,935x4

...and term 3:
::3年 3年 3年 3年 3 年 3 年 3 年 3 年 3 年 3 年 3 年 3 年 3 年 3 年 3 年 3 年 3 年 3 年

$\begin{aligned} _{6} C_{3} (3 x)^{3} (- 3)^{6 - 3} = 20 (3 x)^{3} (- 3)^{3} = - 14, 580 x^{3} \end{aligned}$
::6C3(3x)3(-3)6-3=20(3x)3(-3)3(-3)3}14,580x3

...and term 4:
::4年 4年 4年 4年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 年 4 和 4 年 4 年 4 年 4 年 4 和 4 年 4 年 4 年 4 和 4 年 4 年 4 年 4 和 4 年 4 年 4 和4 年 4 年 4 4 年 4 和4 年 4 年 4 年 4 4 和4 年 4 年 4 4 年 4 和4 年 4 年 4 年 4 4 4 4 年 4 4 年 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 7 7 7 7 7 4 4 7 7 7 7 7 4 4 7 4 4 4 7 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

$\begin{aligned} _{6} C_{2} (3 x)^{2} (- 3)^{6 - 2} = 15 (3 x)^{2} (- 3)^{4} = 10, 935 x^{2} \end{aligned}$
::6C2(3x)(2-3)6-2=15(3x)(2-3)4=10,935x2

...and term 5:
::5年 5年 5年 5年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年 5 年和 5 年 5 年

$\begin{aligned} 6 C_{1} (3 x)^{1} (- 3)^{6 - 1} = 6 (3 x)^{1} (- 3)^{5} = - 4374 x \end{aligned}$
::6C1(3x)1(-3)6-1=6(3x)1(-3)54374x

...and term 6:
::6年 6年 6年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 年 6 和 6 年 6 年 6 年 6 年 6 和 6 年 6 年 6 和年 6 年和 6 年 6 和年 6 年 6 年 6 和 6 年 6 和年 6 年 6 和 6 年和 6 年 6 和年 6 和6 年 6 年 6 6 年 6 年 6 和 6 6 6 6 6 年 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

$\begin{aligned} _{6} C_{0} (3 x)^{0} (- 3)^{6 - 0} = (3 x)^{0} (- 3)^{6} = 729 \end{aligned}$
::6C0(3x)0(-3)6-0=(3x)0(-3-3)6=729

The expanded polynomial is:
::扩大的多元性是:

$\begin{aligned} 729 x^{6} - 4374 x^{5} + 10, 935 x^{4} - 14, 580 x^{3} + 10, 935 x^{2} - 4374 x + 729 \end{aligned}$
::729x6-4374x5+10,935x4-14,580x3+10,935x2-4374x+729

Example 6
::例6

Find the coefficient of $\begin{aligned} x^{3} \end{aligned}$ in $\begin{aligned} (x - y)^{3} \end{aligned}$ .
::查找(x-y) 3 中的 x3 系数。

We use the formula for the third term:
::我们用第三学期的公式:

$\begin{aligned} _{3} C_{3} x^{3} (- y)^{3 - 3} \end{aligned}$
::3C3x3(-y)3-3-3

$\begin{aligned} x^{3} (- y)^{0} \end{aligned}$
::x3( - y) 0

Giving us our answer: 1
::给我们答案:1

Review
::回顾

Expand: $\begin{aligned} (x + 3 a)^{4} \end{aligned}$
::展开 x+3a) 4

Expand: $\begin{aligned} (y + \frac{1}{2})^{5} \end{aligned}$
::展开y+12)5

Expand: $\begin{aligned} (2 x - a)^{6} \end{aligned}$
::展开: (2x- a) 6

Expand: $\begin{aligned} (x + y)^{6} \end{aligned}$
::展开 x+y) 6

Expand: $\begin{aligned} (3 x + 1)^{5} \end{aligned}$
::展开: (3x+1) 5

Expand: $\begin{aligned} (x + y)^{5} \end{aligned}$
::展开 x+y) 5

Expand: $\begin{aligned} (2 x + 2)^{4} \end{aligned}$
::展开 2x+2) 4

Find the 3 ^rd term in the expansion $\begin{aligned} (3 x + 2 a)^{9} \end{aligned}$ .
::在扩展( 3x+2a) 9 中查找第三个学期。

Find the 7 ^th term in the expansion of $\begin{aligned} (4 x - \frac{1}{2} a)^{10} \end{aligned}$ .
::第7学期在(4x-12a)10的扩展中查找。

Use Pascal's triangle to find the coefficient:
::使用 Pascal 三角形查找系数 :

What is the coefficient of $\begin{aligned} x^{3} y^{2} \end{aligned}$ in the expansion of $\begin{aligned} (x + y)^{5} \end{aligned}$ ?
:x+y) 5 扩展时 x3y2 系数是多少?

What is the coefficient of $\begin{aligned} x^{4} \end{aligned}$ in the expansion $\begin{aligned} (3 x + 1)^{4} \end{aligned}$ ?
::扩展( 3x+1) 中的 x4 系数是多少 ?

What is the coefficient of $\begin{aligned} x \end{aligned}$ in the expansion: $\begin{aligned} (2 x + 2)^{5} \end{aligned}$ ?
::扩展中的 x 系数是多少 : (2x+2) 5 ?

What is the coefficient of $\begin{aligned} x^{2} \end{aligned}$ in the expansion of $\begin{aligned} (x + 1)^{6} \end{aligned}$ ?
::在(x+1)6的扩展中x2系数是多少?

What is the coefficient of $\begin{aligned} x^{5} \end{aligned}$ in the expansion of $\begin{aligned} (2 x + 1)^{5} \end{aligned}$ ?
::在扩大(2x+1)5 时x5的系数是多少?

What is the coefficient of $\begin{aligned} x \end{aligned}$ in the expansion of $\begin{aligned} (3 x + 2)^{3} \end{aligned}$ ?
::在扩大(3x+2)3时x的系数是多少?

What is the coefficient of $\begin{aligned} x^{6} \end{aligned}$ in the expansion of $\begin{aligned} (x + y)^{6} \end{aligned}$ ?
::在(x+y)6的扩展中x6系数是多少?

What is the coefficient of $\begin{aligned} x \end{aligned}$ in the expansion of $\begin{aligned} (2 x + 1)^{6} \end{aligned}$ ?
::在扩大(2x+1)6 时x的系数是多少?

Review (Answers)
::回顾(答复)

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General

二共论和扩展

Binomial Theorem and Expansions ::二共论和扩展

Binomial Expansion ::扩大二进制扩张

The Binomial Theorem ::二元论论

Finding a Specific Term in a Binomial Expansion ::寻找二进制扩展中的具体期限

Examples ::实例

Example 1 ::例1

Example 2 ::例2

Example 3 ::例3

Example 4 ::例4

Example 5 ::例5

Example 6 ::例6

Review ::回顾

Review (Answers) ::回顾(答复)