4.10 摘要:指数函数和对数函数

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  摘要: 指数函数和对数函数

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  Chapter Summary
  ::章次摘要

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  Exponential and logarithmic functions help model many real-world situations, such as population growth and compounded interest. For example, a small town's population is given by  $\begin{array}{r}P(t)=2,000\cdot (1.5{)}^t,\end{array}$  where t is the number of years since 1950. Populations rarely grow in an unbounded fashion in the long run. The logistic model improves on exponential growth models for real-world application.
  ::指数和对数功能有助于模拟许多现实世界的情况,例如人口增长和复合兴趣。例如,一个小城镇的人口由P(t)=2 000(1.5)t提供,那里的人口是1950年以来的年数。从长远看,人口很少以不受限制的方式增长。后勤模式改进了用于现实世界应用的指数增长模式。

   

  

   

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  Furthermore, nearly all investment accounts use compounded interest, which is determined by the exponential function $\begin{array}{r}A(t)=p\cdot {\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}.\end{array}$
  ::此外,几乎所有投资账户都使用由指数函数A(t)=p(1+rn)nt决定的复合利息。

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  Using the rules of exponents and properties of logarithms and solving  exponential and logarithmic equations  make it possible to solve  these sorts of problems. 
  ::使用指数规则和对数特性,解决指数式和对数方程,就有可能解决这类问题。

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  To solve an exponential equation:
  ::要解析指数方程式 :

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  • Isolate the exponential part of the equation. If there are two exponential parts, then rewrite so there is an exponential on each side of the equation. 
    ::分离方程式的指数部分。 如果有两个指数部分, 请重写, 这样方程式的每侧都有指数部分 。
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  • Take the logarithm of each side of the equation.
    ::以方程每侧的对数取出方程的对数 。
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  • Solve for the variable. 
    ::解决变量。
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  • Check your solution. 
    ::检查你的解决方案。

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  To solve logarithmic equations, use the following:
  ::要解析对数方程式,请使用以下公式:

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  • One-to-one properties:
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    •   $\begin{array}{r}A=B\end{array}$ if and only if  $\begin{array}{r}{b}^A=b^B\end{array}$  
      ::A=B 如果且仅在 bA=bB 的情况下 A=B
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    •   $\begin{array}{r}A=B\end{array}$   if and only if  $\begin{array}{r}{\log }_{b}A={\log }_{b}B.\end{array}$
      
      ::A=B,如果且只有对数bA=logbB,A=B。
    
    ::一对一属性:A=B,如果且仅在 bA=BA A=B 时才为B,如果且只有在对数bA=logbB的情况下才为B。
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  • Rewrite the equation as an exponential equation using  $\begin{array}{r}{\log }_{b}x=y⟷b^y=x\end{array}$ .
    ::使用 logbx=yby=x 将方程式重写为指数方程式 。

   

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  Review
  ::回顾

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  Try the following cumulative review problems to practice the concepts in this chapter:
  ::尝试下列累积审查问题来实践本章中的概念: