15.11 项目:微积分预览

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  工程: 微积分预览

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  Sound waves can be represented by sine and cosine curves. In this project, you will develop a formula for the slope of the tangent line to the cosine curve at an arbitrary point  $\begin{align*}(x,y)\end{align*}$ . The 1st approach will be graphical, the 2nd will be numerical, and the 3rd will be analytical. 
  ::音波可以由正弦和余弦曲线代表。 在此工程中, 您会为任意点( x, y) 的正弦线向余弦曲线的斜度开发一个公式。 第一种方法是图形, 第二是数字, 第三是分析。

  

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  1. Graphical Approach:  Use the graph shown above, or graph using Desmos or a graphing calculator, to estimate the slope of this curve at 15 different  $\begin{align*}x\end{align*}$ -values. For instance, the slope at  $\begin{align*}x=\frac{3\pi}{2}\end{align*}$  is  1. Once you have determined 15 slope values, plot the points and connect them with a continuous curve. Do you recognize this curve? 
     ::图形化方式 : 使用上面显示的图表, 或使用 Desmos 或图形化计算器来估计此曲线的斜度, 以 15 种不同的 x 值。 例如, x= 3 = 2 的斜度是 1 。 一旦您确定了 15 个斜度值, 请绘制点数, 并将其与连续曲线连接 。 您是否识别此曲线 ?
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  2. Numerical Approach:  The slope of the tangent line is given by the following formula:  $$\begin{align*}m=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}.\end{align*}$$ This formula is a good approximation of the slope when the change in   $\begin{align*}x\end{align*}$ ,  $\begin{align*}\Delta x\end{align*}$ ,  is small. Complete the table below when  $\begin{align*}\Delta x=0.001,\end{align*}$  such that  $$\begin{align*}m \approx \frac{\cos{(x+0.001)}-\cos{x}}{0.001}.\end{align*}$$  

     $\begin{align*}x\end{align*}$	-2	-1.5	-1.0	-0.5	0	0.5	1.0	1.5	2.0
     $\begin{align*}m\end{align*}$

         
     ::数字方法: 相切线的斜度由以下公式给出: m=limxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx。 当 xxx 变化小时, 此公式是斜度的良好近似值。 当 xx=0.001 时, 请填写下表, 例如 mçcos( x+0.0001)-cosx0.001 x-2- 1.5- 1.0-0.5 0.5 0.5 1.01.5 0.5 0.5 1. 0.5 0. 0.5 0. 0.5 0. 0.5 0.5 0. 0.5 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
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  3. Analytical Approach:  To calculate the slope of the tangent line to the cosine curve analytically, you will need two trigonometric limits:  $$\begin{align*}\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 0}\frac{\cos{x}-1}{x}=0.\end{align*}$$  
     ::分析方法:为了分析计算正切线向余弦曲线的斜度,你将需要两个三角限值: limx0sinxxx=1和limx0cosx-1x=0。

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  Use these limits to find a formula for the slope of the cosine curve. 
  ::使用这些限制来为余弦曲线的斜坡寻找公式。