特殊矩阵(Special Matrices)

全一矩阵(Matrix of ones)

我们可以使用 ones 函数创建一个由 m 行和 n 列组成的全一矩阵:

>> ones(3, 3)

ans =
     1     1     1
     1     1     1
     1     1     1

全零矩阵(Matrix of zeroes)

我们可以使用 zeros 函数创建一个由 m 行和 n 列组成的全零矩阵:

>> zeros(3, 3)

ans =
     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

单位矩阵(Identity Matrices)

单位矩阵是一个方阵,其中对角线上的每个元素都是 1,而其它元素都是 0。单位矩阵用于以下目的:

(a) 验证两个给定矩阵是否互为逆矩阵。下面的 A 和 B 是互为逆矩阵的示例:

>> A = [3, -2; -1, 1]
A =
     3    -2
    -1     1

>> B = [1, 2; 1, 3]
B =
     1     2
     1     3

>> A * B
ans =
     1     0
     0     1

(b) 查找矩阵的逆矩阵

注意 1:并非每个逆矩阵都有单位矩阵 注意 2:可以使用命令 eyeNo 快速创建单位矩阵,n 是矩阵的大小

>> A = [3, 2; 4, 3]
A =
     3     2
     4     3

>> eye(2)
ans =
     1     0
     0     1

>> eye(2) / A
ans =
     3    -2
    -4     3

(c) 查找特征值和特征向量。

特征值是与给定向量空间的线性变换相关的标量,并且具有这样的性质:存在一个非零向量,当它与标量相乘时,得到的结果等于该向量在变换下的结果。

假设我们有以下矩阵 A:

A = [ 1 4 3 2 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}

要找特征值 λ,我们需要使用以下公式来求解特征值:

A λ I = 0 |A - \lambda I| = 0

MATLAB 提供了一个简单的方式来查找特征值,使用 eig 命令:

>> A = [1, 4; 3, 2]
A =
     1     4
     3     2

>> lambda = eig(A)
lambda =
    -2
     5

魔方矩阵(Magic Square Matrices)

魔方矩阵是指每一列和每一行的元素和相同,且没有重复的数字。我们可以使用 magicNo 命令创建一个魔方矩阵。n 的阶数必须是一个大于或等于 3 的标量才能创建一个有效的魔方矩阵。

例如,创建一个 5x5 的魔方矩阵:

>> % 创建一个 5x5 的魔方矩阵
>> c = magic(5)
c =
    17    24     1     8    15
    23     5     7    14    16
     4     6    13    20    22
    10    12    19    21     3
    11    18    25     2     9

Last modified: Tuesday, 15 April 2025, 10:08 AM