MATLAB编程-简介

微分方程的阶（Order of Differential Equations）

微分方程是包含某个函数及其一个或多个导数的方程，常用于描述变化过程。

注意：导数的形式为

$$$$

\frac{dy}{dx} ]

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微分方程的“阶”

微分方程的阶（Order）是指其中所出现的最高阶导数的阶数。
常微分方程（ODE）是只涉及一个自变量的导数的微分方程，目标通常是求解使该方程成立的函数。

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ODE 的基本类型

1. 一阶微分方程（1st Order ODE）

2. 二阶微分方程（2nd Order ODE）

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一阶微分方程

一阶方程仅含一阶导数，如：

$$\frac{dy}{dx} + Py = Q$$

其中 $x$ 和 $y$ 为变量。

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二阶微分方程

当出现的最高阶导数是二阶导数时，该方程为二阶微分方程，例如：

$$\frac{d^2y}{dx^2} + n\frac{dy}{dx} + my^2 = P$$

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使用 MATLAB 中的 dsolve 求解微分方程

示例：

解方程：

$$\frac{d^3y}{dx^3} + 2\frac{d^2y}{dx^2} + 5\frac{dy}{dx} + 4y = 5x,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=3$$

使用 MATLAB 命令：

>> s = dsolve('D3y+2*D2y+5*Dy+4*y=5*x', 'y(0)=1', 'Dy(0)=3')

输出结果 s 将包含微分方程的解析解。

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MATLAB 中常用的 ODE 求解器

求解器	精度	适用场景说明
ode45	中等	适用于大多数常规问题
ode23	较低	对于容忍误差较大的问题更高效
ode113	低至高	适合误差要求高或函数计算量大的情况

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ODE 实例：存款利息增长

有 $10,000 存入银行定期账户，年利率为 2%。构造微分方程如下：

微分方程模型：

$$\frac{dM}{dt} = \frac{2}{100}M = 0.02M \quad \text{(1)}$$ $$M(0) = 10000 \quad \text{(2)}$$

对 (1) 积分得到：

$$M(t) = M(0) \cdot e^{0.02t} = 10000 \cdot e^{0.02t}$$

用 MATLAB dsolve 实现：

>> syms M(t)
>> eqn = diff(M, t) == 0.02*M;
>> S = dsolve(eqn, M(0) == 10000)

S =
10000*exp(t/50)

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使用 ode45 数值解法

函数原型：

[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0)

参数说明：

• odefun：微分函数，可用匿名函数表示；

• tspan：积分区间 [t0, tf]；

• y0：初始条件；

• t：返回的时间点；

• y：返回的解值。

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示例：模拟银行存款增长

function [T, M] = money_in_bank(R)
    % 初始金额
    M0 = 1000;

    % 利率
    R = 2; % 单位：%

    % 时间范围（年）
    T0 = 1;
    Tf = 30;

    % 使用解析表达式（从 dsolve 得到的）
    S = @(T, M) 0.02*M;

    % 数值求解
    [T, M] = ode45(S, [T0, Tf], M0);

    % 绘图
    plot(T, M, '-o')
    legend('M(t)')
    xlabel('Years')
    ylabel('Money in Bank')
end

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参考资料

• Byju's: 微分方程与阶数

• Cuemath: 微分方程阶

• Math is Fun: 微分方程

如需我帮你推导某个具体 ODE 或写出 MATLAB 解法，也可以告诉我。